ГЕОМЕТРИЧНА ДЕФИНИЦИЯ НА ЛЕМНИСКАТНИТЕ ФУНКЦИИ

Нека се обърнем към лемниската на Бернули, показана на фиг. 8.

Това е крива, образувана от всички точки на равнината, за която произведението на разстоянията до две дадени точки, наречени фокуси на лемниската, е постоянна стойност. В този случай фокусите са избрани в точките (1/2, 1/2) и (-1/2, -1/2), а константата е 1/2. Следователно уравнението на лемниската има формата:

или след повдигане на квадрат на двете части и опростяване:

И така, лемниската на Бернули е алгебрична крива от четвърти ред.

Въвеждаме полярни координати r и j, приемайки Ox за полярна ос; Тогава

Следователно уравнението на лемниската в полярни координати има формата

За j = ( p /4 ) получаваме максималната стойност r =1.

От уравнение (15) (или (14)) следва, че лемниската е симетрична по отношение на произхода, освен това е симетрична

върху двете ъглополовящи на координатните ъгли. Наистина, ако x \u003d a и y \u003d b отговарят на уравнение (16), тогава координатите на точките: (-a, -b), (b, a), (- b, -a) също го удовлетворяват.

Нека подвижната точка M, излизаща от началото, описва частта от лемниската, разположена в първия квадрант, движейки се в положителна посока, т.е. обратно на часовниковата стрелка. Тъй като, връщайки се в началото за първи път, той се движи по дъга, допирателна към Oy, естествено е да се изисква, докато продължава да се движи по лемниската (в третия квадрант), да премине към дъга, допирателна към същата ос. След това, за положителната посока на заобикаляне на частта от лемниската в третия квадрант, ще трябва да вземем посоката на часовниковата стрелка, което ще направим. Завършвайки първия кръг на цялата лемниската и започвайки нов, точката ще се премести от третия квадрант към първия по дъгата допирателна към Ox,и т.н.

Означаваме дължината на цялата лемниската с 2 w , така че дължината на OMS дъгата да е равна на ( w /2) .

Както в случая с окръжност, ще приемем, че променливата точка M достига от началото на дъгата O до нейния край A след определен брой пълни обиколки по цялата лемниската в една или друга посока. Съответно, дължината t на всяка дъга OA ще бъде определена само до цяло число, кратно на 2 w , следователно r - дължината на хордата OA - ще бъде периодична функция на t с период от 2 w .

Ще разширим дефиницията на тази функция, като приемем, че тя променя знака всеки път, когато премине през нула, тъй като t нараства непрекъснато.

Функцията, дефинирана по този начин за всички реални стойности на t, ще се нарича, по аналогия с кръговия синус, лемнистичен синус и ще се обозначава по следния начин:

Тук sl са началните букви на името: sinus lemniscaticus. Отбелязваме по-специално, че

От симетрията на лемниската по отношение на точка O и от приетата конвенция за знаци следва, че sl t е нечетна функция (фиг. 8):

Симетрията по отношение на ъглополовящата на първия (и третия) координатен ъгъл дава (фиг. 9):

По същия начин, симетрията относно ъглополовящата на втория (и четвъртия) координатен ъгъл води до връзката (фиг. 9):

Въпреки това (21) е просто следствие от (17) и (18);

Лемнистичният косинус се определя от гледна точка на синуса по формулата:

От това по-специално следва, че тя също е периодична функция с период 2 w . Но за разлика от sl t, функцията cl t е четна. Наистина, използвайки последователно (20), (19), (17) и отново (20), намираме:

Читателят може лесно да провери валидността на равенствата

Дефиницията на лемнискатните функции и уравнението (16) позволяват да се прецени броят и естеството на решениятауравнения от вида: sl(t) = a или cl(t) = a, където a е реално число.

Тук има пълна аналогия със случая на кръгови функции.

Помислете например за уравнението

Може да се твърди, че за > 1 няма решение. За J 1 в полуинтервала

0 J t w има поне едно решение.

Очевидно във всеки от случаите a = 1 или a = -1 можем да говорим за две решения, които са се слели в една точка.

Обърнете внимание също, че ако t 1 № t 2 , тогава съответните стойности на cl t са противоположни:

Геометрично решението на уравнение (23) се свежда до намиране на пресечните точки на лемниската (14) и окръжността x 2 + y 2 = a 2 , избиране на онези точки от тях, за които r = OA има същия знак като a , и накрая, изчисляване на съответните дължини на дъгата.

Всичко казано в този параграф е илюстрирано в графиките sl t и cl t, които по своя външен вид наподобяват синусоида и косинусова вълна (фиг. 10).