Глобална лоренцианска геометрия c
Геодезическата пълнота, или по-точно геодезическата непълнота, играе решаваща роля в изложението на теорията на сингулярностите в общата теория на относителността и в тази рамка тя е внимателно проучена. В същото време функцията за разстояние на Лоренц, въпреки че е била използвана в изследването на сингулярностите (виж Xo-king [(1967), Хокинг и Елис (1977), Типлър (1977a), Beam и 10
Erlich (1979 a)), не е проучен толкова добре. Хокинг и Елис (1977, стр. 239-241) описват накратко свойствата на Лоретианската функция на разстоянието, необходими в общата теория на относителността. Някои резултати, свързващи разстоянието на Лоренц с причинно-следствената връзка и глобалното поведение на не-пространствено-подобни геодези, също са получени от Бийм и Ерлих (1979b).
Целта на настоящата монография е следната. Първо ще бъдат разгледани известни резултати за геодезическа и метрична пълнота. След това описваме подробно свойствата на функцията за разстояние на Лорей и теорията на Морз за непространствени геодезични в произволни пространствено-времеви многообразия. И накрая, ние показваме как тези концепции могат да бъдат приложени към глобалната лорейска геометрия и теорията на сингулярността в общата теория на относителността.
Функцията на лоренцовото разстояние има много общо с функцията на римановото разстояние, но има и много разлики. Тъй като лоренцианската функция на разстоянието не е толкова добре известна, ще започнем с припомняне на основните свойства на риманова функция на разстояние и след това ще ги сравним и контрастираме със съответните резултати за лоренцианската функция на разстоянието.
Навсякъде до края на въведението ще се придържаме към следното означение: римановото многообразие ще се обозначава с (N, g0), а лоренцовото многообразие с (M, g).
Така че N е гладкое паракомпактно многообразие, снабдено във всяко допирателно пространство TpN с положително определено скаларно произведение g0 Jj3: TvN X TvN —* R. В допълнение, ако X и Y са произволни гладки векторни полета върху N, тогава функцията N —> R, дадена от правилото g0 (X (p),
Y (p)), трябва да е гладка. Тогава риманова структура g0: TN X TN -V R дефинира риманова функция на разстояние
по следния начин. Нека Qp, h е множеството от късично-гладки криви BNrnpbq. За дадено с ? Qp, q, c\ [0, 1 ] -N, съществува краен дял 0 = tj, - [0, oo) има следните свойства:
(1) d0 (p, q) = d0 (q, p) за всички p, q ^ N\
По-изненадващо е следното свойство:
(4) функцията d0: NxN-+- [0, oo) е непрекъсната и семейството на метричните топки
B(p, r) = \q Є - A': dn (p, q) 0 формира основата на оригиналната топология на многообразието. По този начин метричната топология и оригиналната топология на многообразието съвпадат. Освен това, според резултата на Whitehead (1932), за всяка дадена точка p f N съществува R> 0, така че за всяко ê, подчинено на условието O, за което L0 (c) = do (P, n) - 12
Геодезическият сегмент, реализиращ разстоянието, както е посочено в (3), се нарича минимален геодезичен сегмент. Тук се използва думата минимално, защото дефиницията на риманово разстояние предполага неравенството L0 (y) ⩽ d0 (p, q), което е валидно за всички y v
Qpjq. По-общо казано, може да се дефинира произволна частично гладка крива y (- Qp, q като минимална, ако L0 (*\>) = d0 (p, q). Прилагайки методите на вариационното смятане към функционала на дължината на дъгата, може да се покаже, че ако y - QP: q е минимална, тогава тя може да бъде препараметризирана в плавен геодезичен сегмент. Предишен 7 8 9 10 11 1 2 .. 167 >> Следваща