Групови морфизми
Групова концепция
Теория на групите
Теорията на групите е в основата на съвременната алгебра. Неговото начало е създадено от младия блестящ математик Е. Галоа (1811-1832) като инструмент за оценка на възможността за решаване на уравнения от по-високи степени в радикали. Оттогава обаче обхватът и полето на интерпретация на груповата теория са се разширили многократно. Една от най-значимите интерпретации за групите е различните видове симетрия.
Групата може да се дефинира като алгебра с една операция L, която отговаря на следните закони:
1. Наличието на операция.
"xyz(x Ä (y Ä z)) = ((x Ä y) Ä z)
3. Наличие на единица (e)
4. Наличие на обратен елемент.
"xy (x Ä y = y Ä x)
Изпълнението само на първия закон давагрупоид. Ако второто е допълнително удовлетворено -полугрупа (популярна при изучаването на свойствата на формалните граматики).
Изпълнението на първия, втория и третия закон давамоноид.
Задоволяването на аксиоми от една до четири давагрупа.
Ако комутативният закон е в сила и за група, тогава групата се наричаабелева.
Помислете за въртенето на квадрата около центъра, докато върховете съвпаднат.
4 3
a1 = 0 0 Ъгли на завъртане като елементи.
a2 = 90 0 Като операция - допълнително струговане.
a3 = 180 0 Всички закони за групата са изпълнени.
a4 = 270 0
Така нареченитезаместваниясъщо са популярни от времето на Галоа. Можете да напишете пермутациите, съответстващи на всяко от четирите завъртания от предишния пример:
æ1 2 3 4ö æ1 2 3 4ö æ1 2 3 4ö æ1 2 3 4ö
ç ç ç ç ç ç ç ç
è1 2 3 4ø è4 1 2 3ø è3 4 1 2ø è2 3 4 1ø
И като операция вземете композицията от пермутации. Например,
| = |
è2 3 4 1ø è2 3 4 1ø è3 4 1 2ø
Резултатът също ще бъде група.
Вземете корените на уравнението x 4 - 1 = 0
- групиране по операция умножение.
Така разгледахме няколко крайни групи, съдържащи по четири елемента всяка. Тези групи са изоморфни една на друга.
Например, можете да картографирате „единични“ елементи един към друг:
a1 « 0 0 « ç ç « 1
Така че можем да говорим заабстрактни групи,тоест за такива групи, за които специфичен набор и специфична операция не са от съществено значение.
Нека f е някакво преобразуване на елементи от една група в друга или в същата група и
f (a Ä b) = f(a) Å f(b) a,b Î G; f(a), f(b) н b2.
тогава казваме, че f ехомоморфизъм.
Ако f(a)=F(b), тогава и само ако a = b, тогава имамеизоморфизъм (еднозначен хомоморфизъм).
Хомоморфизъм на група в себе си се наричаендоморфизъм.
Инъективен хомоморфизъм се наричамономорфизъм.
Сюръективният хомоморфизъм се наричаепиморфизъм.
Изоморфизъм в себе си се наричаавтоморфизъм.
Пример:
< . . .-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, . . . >- ендоморфизъм, епиморфизъм, мономорфизъм, изоморфизъм, автоморфизъм.