Интерполация по схемата на Айткен - Студиопедия

Итеративните интерполационни методи се основават на многократното прилагане на някаква проста интерполационна схема. Най-известният от итеративните методи е методът на Aitken, който се основава на многократно прилагане на линейна интерполация.

В съответствие със схемата на Aitken, линейната интерполация върху точкитеMi(xi,yi) иMi+1(xi+1,yi+1) се свежда до изчисляване на детерминанта от втори ред

Когато се интерполира върху три или повече точки, полиномите се изчисляват последователно

В общия случай интерполационният полиномnта степен, който приема стойноститеyi(i =) в точкиxi, се записва по следния начин:

Основното предимство на схемата на Aitken е възможността за постепенно увеличаване на броя на използванитеxiстойности, докато последователните стойностиP0,1,2,…,n(x) иP1,2,…,n-1(x) съвпадат в определената точност . С други думи, изчисленията спират, когато условието

P0,1,2,…,n(x) -P1,2,…,n-1(x) I), посочете дали съответнитеP(x) стойности са били изчислени досега и се определят като

Схема на рекурсивната процедура PX е показана на фиг. 1, където X е масив от стойности на интерполационни възли, Y е масив от стойности на функцията в интерполационни възли, Z е стойността на аргумента. Параметрите X, Y, Z, M трябва да бъдат декларирани като общи за основната програма и подпрограмата PX.

1.3. Интерполационни формули на Нютон

за еднакво разположени възли

Интерполационни възлиx0,x1, .xnсе наричат ​​равноотдалечени, ако , къдетоhе стъпката на интерполация. В този случай, за някаква функцияf(x), стойноститеyi = f(xi), къдетоxi = x0+ ih, са дадени в таблица.

разлики

Има две формули на Нютон за случая на равноотдалечени възли на интерполация, които се наричат ​​съответно първа и втора формула на интерполация на Нютон и имат формата:

;

,

В тези формули Di yjса крайните разлики, къдетоiе редът на разликата,jе нейният пореден номер, а параметритеtиqсе дефинират както следва:

Крайните разлики от първи ред се изчисляват като Dyj=yj+1 –yj, къдетоj=, за по-високи порядъци се използва добре известната формула

(i= 2, 3, . ;j= ).

Удобно е да се представят получените окончателни разлики в таблична форма, например под формата на таблица. 1, която се нарича хоризонтална таблица с крайни разлики.

Таблица 1

xyDyD2yD3yD4y
x0Y0Dy0D2y0D3y0D4y0
x1Y1Dy1D2y1D3y1D4y1
x2Y2Dy2D2y2D3y2-[s1]
x3Y3Dy3D2y3--[s2]
x4Y4Dy4---[s3]
x5Y5----[s4]

Първата формула на Нютон се използва за интерполация напред и екстраполация назад, т.е. в началото на таблицата на разликите, където редовете са попълнени и има достатъчен брой крайни разлики. Когато използвате тази формула за интерполация, стойността на аргументаxтрябва да лежи в интервала [x0,x1]. В този случайx0 може да се приеме като всеки интерполационен възелxkс индекс, къдетоmе максималният ред на крайните разлики.

Втората формула на Нютон се използва за обратна интерполация и екстраполация напред, т.е. в края на таблицата с крайни разлики. В този случай стойността на аргументаxтрябва да бъде в интервала [xn-1,xn] и всеки възел на интерполация може да се приеме катоxn.

Едно от най-важните свойства на крайните разлики е следното. Ако крайните разликиiти ред (i

Не намерихте това, което търсихте? Използвайте търсачката:

Деактивирайте adBlock! и обновете страницата (F5)наистина е необходимо