Издателство Петър Откъс от книгата Решаване на математически задачи с помощта на Excel Practicum
Решаване на математически задачи с помощта на Excel: Семинар
Б. ГелманГлава 1
Аналитична геометрия
Аналитичната геометрия изучава геометричните обекти чрез техните уравнения. MS Excel предоставя широки възможности за визуализация на различни уравнения. В Excel е най-удобно да се изграждат криви на равнина и повърхности в пространството.
Декартова координатна система
За да се опишат точките на геометрични обекти с помощта на числа и писане на уравнения, е зададена координатна система. Има различни координатни системи: декартова, полярна, криволинейна и др. Ще разгледаме най-често срещаната - декартовата координатна система на равнината.
Декартовата координатна система може да бъде правоъгълна или наклонена. По-нататък ще разгледаме декартовата правоъгълна система. В равнината това са две взаимно перпендикулярни числови оси (фиг. 1.1).
Фиг. 1.1. Декартова координатна система на равнината
Декартови координати на точка в равнина е подредена двойка числа, които са проекции на точка върху координатната ос.
Запис: M(x; y), където x е първата координата, абсцисата, y е втората координата, ординатата.
Декартовата правоъгълна координатна система в пространството е три взаимно перпендикулярни числови оси (фиг. 1.2).
Фиг. 1.2. Декартова координатна система в пространството
Декартовите координати на точка в пространството са подредена тройка от числа, които са проекции на точка върху координатните оси.
Запис: M (x; y; z), където x е абсцисата, y е ординатата, z е апликацията.
Лини в равнина
Уравнението на линията в равнината 0xy е уравненията F(x; y) = 0 или y = f(x), които са удовлетворени от координатитеx и y на всяка точка, лежаща на правата, и не отговарят на координатите на която и да е точка, която не лежи на нея.
При дадено уравнение можем да кажем, че линията, дефинирана от уравнението в някаква координатна система, е геометричното място на точките (GMT), чиито координати удовлетворяват уравнението.
Уравнението на права линия в равнина в декартови координати може да бъде написано по различни начини, в зависимост от условията.
1. Уравнение на права с наклон.
Тук: k \u003d tga е наклонът на правата линия, a е ъгълът на наклона на правата към оста x, b е ординатата на пресечната точка на правата линия с оста y (фиг. 1.3).
Фиг. 1.3. Права линия в декартови координати
2. Уравнението на права линия, минаваща през дадена точка (x1; y1) в дадена посока (с даден ъгъл на наклон спрямо оста x).
3. Уравнение на права, минаваща през две дадени точки (x1; y1) и (x2; y2).
4. Уравнение на права линия "в сегменти" (фиг. 1.4).
Фиг. 1.4. Права линия, отрязваща сегменти a и bна осите
5. Общо уравнение на права линия:
В MS Excel за изграждане на прави линии, както и на криви и повърхности може да се използва специален инструмент - Chart Wizard, който дава възможност за изграждане на различни видове графики. За да използвате съветника за диаграми, трябва да въведете точките на права линия в работния лист, да извикате съветника за диаграми, да зададете типа на диаграмата, диапазоните от данни и етикетите на оста x и да въведете имената на осите. По-удобно е да се запознаете с използването на съветника за диаграми в хода на решаването на конкретни примери.
Пример 1.1.Помислете за изграждането на права линия в Excel, като използвате уравнението като пример. Нека е необходимо да се построи отсечка от права линия, лежаща в I квадрант (x 0 [0; 3]) със стъпка D = 0,25.
Решение.Задачата за конструиране на права линия (като всяка диаграма в Excel) обикновено се разделя наняколко етапа. Нека се отвори празен работен лист след стартиране на пакета.
Етап 1.Въвеждане на данни. Преди да изградите права линия, трябва да създадете таблица с данни (x и y) за нейното изграждане в работния прозорец на електронната таблица на Excel. За да направите това, стойностите на x и y трябва да бъдат представени под формата на таблица, където колоните са съответните индикатори. В този пример нека първата колона е стойностите на x, а втората - съответните стойности на y. За да направите това, в клетка A1 въвеждаме думата Argument, а в клетка B1 - думата Direct.
Нека започнем с въвеждането на стойностите на аргументите. В клетка A2 се въвежда първата стойност на аргумента - лявата граница на диапазона (0). В клетка A3 се въвежда втората стойност на аргумента - лявата граница на диапазона плюс стъпката на конструиране (0,25). След това, след като избрахме блока от клетки A2: A3, получаваме всички стойности на аргумента чрез автоматично попълване (разтягаме долния десен ъгъл на блока до клетка A14).
След това въведете стойностите на реда. В клетка B2 въведете нейното уравнение: = 2 * A2 + 1, след превключване на английски (Alt + Shift). Моля, обърнете внимание, че уравнението на права линия трябва да се преобразува във формата на уравнение с наклон. След това автоматично довършване копирайте тази формула в диапазона B2:B14.
В резултат на това трябва да се получи следната таблица (фиг. 1.5).
Етап 2.Избор на типа диаграма. В лентата с инструменти Standard щракнете върху бутона Chart Wizard (обикновено четвъртият или петият отдясно). В диалоговия прозорец Chart Wizard (Стъпка 1 от 4): Chart Type, който се появява, посочете типа на диаграмата.
В диалоговия прозорец Chart Wizard (Стъпка 1 от 4): Chart Type, вляво е списък с типове диаграми, вдясно е изглед на опциите за подтипове. За да зададете тип диаграма, първо трябва да изберете типа в левия списък (с помощта на показалеца на мишката и левия бутон на мишката) и след товаизберете подтип диаграма в десния прозорец (щракнете с левия бутон върху избрания подтип).
В този пример изберете типа - Графика, изглед - Графика с маркери (лява средна диаграма в десния прозорец). След това натискаме бутона Напред в диалоговия прозорец (фиг. 1.6).
Фиг. 1.5. Изходни данни от пример 1.1
Фиг. 1.6. Пример за избор на тип диаграма в диалоговия прозорец Chart Wizard
Стъпка 3.Посочете диапазона. В диалоговия прозорец Chart Wizard (Стъпка 2 от 4): Chart Data Source, който се появява, изберете раздела Data range и в полето Range укажете интервала на данните, тоест въведете препратка към клетките, съдържащи данните, които искате да представите в диаграмата.
Определянето на обхвата (интервала) на данните е най-важният момент при изграждането на диаграма. Тук трябва да посочите само данните, които трябва да се показват на диаграмата (в нашия пример, стойностите на точките на правата линия). Освен това, за въвеждането на обяснителни надписи (легенди), те също трябва да бъдат включени в диапазона (в примера - Direct).
За да направите това, използвайте клавиша Delete, за да изчистите работното поле Range и като се уверите, че в него остава само мигащият курсор, преместете показалеца на мишката в горната лява клетка с данни (B1), натиснете левия бутон на мишката и, без да го отпускате, плъзнете показалеца на мишката до долната дясна клетка, съдържаща данните, които трябва да бъдат нанесени върху диаграмата (B14), след което отпуснете левия бутон на мишката. В работното поле трябва да се появи запис: = Sheet1!$B$1:$B$14. Тук най-важното за нас е посочването на диапазона B1:B14, което потвърждава правилното въвеждане на интервала от данни (фиг. 1.7).
Фиг. 1.7. Пример за задаване на диапазон от данни
Ако не е било възможно да получите необходимия запис в полето Range първия път,действията трябва да се повтарят.
Ако диалоговият прозорец затваря колони с данни, можете да го преместите, като плъзнете заглавната лента с показалеца на мишката (при натиснат ляв бутон).
След това трябва да посочите в редовете или колоните, в които се намират сериите от данни. В примера стойностите на точките на правата линия са разположени в колона, така че редовете в превключвателя трябва да бъдат зададени на колони с помощта на показалеца на мишката (черната точка трябва да е близо до колоните с думи).
Етап 4.Въведете етикети по оста X (хоризонтално). В диалоговия прозорец Chart Wizard (Стъпка 2 от 4): Chart Data Source изберете раздела Series (като щракнете върху него с показалеца на мишката) и в полето X-Axis Labels задайте диапазона от етикети (в примера Аргумент). За да направите това, активирайте полето Етикети на оста X, като щракнете върху него с показалеца на мишката и, като го посочите към горната лява клетка с етикети (A2), натиснете левия бутон на мишката, след това, без да го пускате, плъзнете показалеца на мишката до долната дясна клетка, съдържаща етикети, поставени върху оста X (A14), след което отпуснете левия бутон на мишката. В работното поле трябва да се появи запис: = Sheet1!$A$2:$A$14. Тук, що се отнася до данните, най-важно за нас е посочването на диапазона A2:A14, което потвърждава правилното въвеждане на интервала на подписа (фиг. 1.8).
Фиг. 1.8. Пример за настройка на обхвата на етикетите по оста x
Когато се появи желаният запис в диапазона, щракнете върху Напред.
След това в този прозорец изберете раздела Легенда и посочете дали е необходима легенда (интерпретация на крива). С щракване на мишката поставете отметка в квадратчето до Добавяне на легенда.
След това щракнете върху бутона Напред.
Фиг. 1.9. Пример за именуване на диаграми и оси
Стъпка 6.Избор на разположение. В четвъртия прозорец на Chart Wizard (стъпка 4 от 4): поставянедиаграма, трябва да посочите местоположението на диаграмата. За да направите това, задайте превключвателя Поставете диаграмата върху лист на желаната позиция (на отделен или текущ лист). В примера поставете превключвателя на налична позиция (като щракнете върху показалеца на мишката, поставете черната точка вляво от думата налична).
Стъпка 7.Завършване. Ако диаграмата в демонстрационното поле изглежда така, както искате, щракнете върху бутона Край. В противен случай щракнете върху бутона Назад и променете настройките.
Натискаме бутона Готово и на текущия лист трябва да се появи следната диаграма (фиг. 1.10).
Фиг. 1.10. Конструирана праволинейна диаграма от пример 1.1
1. Построява се права, успоредна на абсцисната ос (Ox) и пресичаща ординатната ос (Oy) в точка А(0; 2) в интервала x О [–3; 3] със стъпка D = 0.5.
2. Построете ъглополовящата на I–III координатни ъгли на декартовата координатна система в диапазона x O [–3; 3] със стъпка D = 0.5.
3. Постройте права линия 3x + 2y - 4 = 0 в диапазона x O [–1; 3] със стъпка D = 0.25.
4. Построете права линия, която пресича ординатната ос в точка A(0; 2) и абсцисната ос в точка B(3; 0), в диапазона x O [–1; 4] със стъпка D = 0.25.
5. Построете права, минаваща през началото и точка A(2; 3), в диапазона x O [–1; 4] със стъпка D = 0.25.
6. Построете права, минаваща през точките A(0; 3) и B(2; 2) в диапазона x O [–1; 4] със стъпка D = 0.25.
7. Построява се права с условен коефициент a = 3/5 и минаваща през точката K(–1; 2) в интервала x O [–1; 3] със стъпка D = 0.25.
8. Построете права, минаваща през две дадени точки: М(3; –7) и N(–2; 4) в интервала х О [–3; 3] със стъпка D = 0.25.
9. Постройте права линия, дадена от общото уравнение:: 3x - 5y + 15 = 0 в диапазона x O [–1; 3] със стъпка D = 0.25.
10. Построете права линия, минаваща през точката A (2; -4), успоредна на правата: 2x - 3y + + 1 \u003d 0 в диапазона x O [-1; 3] със стъпка D = 0.25.