Измерване на геометрични величини в курса на гимназията
Министерство на образованието на Република Беларус
Гомелски държавен университет на име Ф. Скорина"
Измерване на геометрични величини в курса на гимназията
група Горошко А.Ю.
канд. физика и математика науки,
Доцент Лебедева М.Т.
Съдържание
1. Образователни цели на изучаване на тема в училищен курс по математика. Общото понятие за величина. Пример за изграждане на теория на количествата
2. Методи за изследване на геометричните величини. Теорията за измерване на дължините на сегментите
Измерването на геометрични величини е една от основните линии на училищния курс по геометрия, която запознава учениците с важни идеи, концепции и методи на метричната геометрия. Измерването на геометрични величини е свързано с идеята за аксиоматичен метод, теорията на реалното число и методите на математическия анализ. Запознаването на учениците с различни формули разширява възможностите за използване на аналитичния метод в училищния курс по геометрия. Основната характеристика на представянето на материала е комбинация от различни математически идеи и методи, например в темата „Квадрати на фигури“ се използват традиционни синтетични и аналитични методи.
1. Образователни цели на изучаване на темата в училищния курс по математика. Общото понятие за величина. Пример за изграждане на теория на количествата
- -начално училище: примери за количества (дължина, площ, маса, цена); единици за тяхното измерване; примери за зависимости между величини (път, скорост и време; площ и дължини на страните на правоъгълник и др.);
- - в 5-6 клас: примери за величини (дължина, площ, обем, градусна мярка на ъгъл); мерни единици за дължини, площи, обеми и ъгли; маса на телата; площ на правоъгълник, правоъгълен триъгълник, обем на кубоид, формули за обиколка и площкръг.
- - в 7-9 клас: концепцията за площ, основните свойства на площта, площта на правоъгълник, триъгълник, успоредник, трапец, съотношението на площите на подобни фигури, площта на кръга и неговите части, решаване на задачи за изчисляване на неизвестни дължини, ъгли и площи;
- - в 10-11 клас: понятието обем, основните свойства на обема, обемът на многоъгълниците: правоъгълен паралелепипед, призма, пирамида; обеми на телата на въртене: цилиндър, конус, топка; област на сферата.
В същата програма се налагат следните изисквания към подготовката на учениците в областта на геометричните величини:
-Учениците в началното училище трябва да се научат да измерват най-простите величини и да извършват подходящи действия върху тях. Програмата препоръчва фокусиране върху развиването на силни умения за измерване на количества, овладяване на най-често срещаните практически единици за измерване на количества;
- учениците от 5-6 клас трябва да придобият умения за измерване на геометрични величини, да се научат как да решават най-простите задачи за намиране на дължини, площи и обеми;
-Учениците от 7-9 клас трябва да придобият умения за измерване и изчисляване на дължини, ъгли и площи, използвани за решаване на различни геометрични и практически задачи. Студентите трябва също да решават прости количествени задачи, които не се свеждат до директното прилагане на една единствена формула или теорема.
Стойността е едно от основните понятия на математиката, възникнало в древността и претърпяло редица обобщения в процеса на развитие на математиката.
Общото понятие за величина е пряко обобщение на специфични величини (дължина, площ, обем, маса и т.н.), чиито свойства са формулирани още в "началото" на Евклид. Впоследствие това количество е наречено "положително скаларно количество", за даза да го разграничим от по-общите понятия за количество (вектор и др.).
Интуитивно си представяме, че едно количество може да бъде по-голямо или по-малко, могат да се добавят две хомогенни количества, може да се измери, което означава сравнение на дадено количество с хомогенно, взето като мерна единица. Не е толкова лесно обаче тази концепция да се формулира в математически термини.
При обучението на ученици се използват ... количества, чието изучаване добре илюстрира общата концепция за количество с подходяща формулировка на обучение.
Помислете за пример за конструиране на количествена теория.
Нека имаме безкрайно множество B с въведената в него релация a - монотонността на събирането;
Мярката a с мерна единица “с” ще означаваме с m(a), т.е. ако a = άc, тогава m(a) = ά.
Мярката има следните свойства:
- m е функция с област на дефиниция B и област на стойност R, т.е. "m" преобразува B в R;
- монотонност на мярката;
- измерване на адитивност;
- мерната единица е 1.
Изброените свойства напълно характеризират мярката “m”, има една единствена функция: В -> R, което има тези свойства, а именно мярката m(a) на количеството a с единица c.
Ако c се замени с c’, тогава се получава нова мярка: m’(a) = a’ и тъй като m(a) = ά, тогава връзката между двете мерки може да се изрази по следния начин: m’(a) = a-1m(a).
Изброените свойства на общото понятие за величина и мярка за величина се използват (в явна или скрита форма) при изучаването на конкретни геометрични величини (дължина, площ и обем) в училище.
2. Методикаизучаване на геометрични величини. Теорията за измерване на дължините на отсечките
Измерването на геометрични величини (дължина, площ, обем) се изучава два пъти в училищния курс, на две различни нива.
На първо, експериментално, ниво в началните класове се учат да измерват дължините на отсечките, повърхнините на най-простите плоски фигури и обемите на най-простите пространствени тела.На това ниво не се дават определения за дължина, повърхнина и обем. Целта е да се създадат ясни интуитивни концепции у учениците.
Методът за изследване на геометричната величина на това ниво е широко застъпен в литературата.
Нека се спрем на някои въпроси от методологията за изучаване на геометрична величина на второ ниво.
„Училищната“ теория за измерване на геометрични величини трябва да бъде изградена със запазване на някаква обща схема. Това се отнася преди всичко за дефинирането на понятията: "дължина", "площ", "обем" , Повторението на една и съща дефиниционна схема допринася за обобщаването, формирането на такова представяне: от аналогията следва, че тези понятия се отнасят до едно по-общо понятие, което ги свързва. Разкриването на тази връзка в учебния процес допринася за по-дълбоко разбиране и сила на знанията. Всяко от трите понятия се определя като реално число, което отговаря на условията, които характеризират общите понятия за мярката на множество.
Например, теорията за измерване на дължината на сегментите може да бъде изградена съгласно следната схема:
- Дефиниране на дължината на отсечка като реално число, което отговаря на условията 1)-4) от понятието мярка;
- Описание на процедурата за измерване на сегмента;
- Установяване на съществуването и уникалността на дължината на отсечката при даден избор на мерна единица с помощта на аксиомата на Архимед;
- Установяване съществуването на отсечка, чиято дължина при даден избормерната единица е равна на всяко положително число, дадено предварително (използвайки аксиомата на Кантор, геометричния еквивалент на аксиомата за непрекъснатост).
Обясняването на гимназистите на същността на аксиомата на Кантор не представлява особени трудности. Това може да стане именно във връзка с установяването на имот 4.
В случая, когато даденото число е рационално, се прилага аксиомата на Кантор и се използва елементарната конструкция. Ако това число е ирационално, например x=2.313113111311113…, тогава процедираме по следния начин: въвеждаме координатна система върху пряката координатна система (начало 0, единица направление) Можем да построим точки A1 и B1, където A1 = 2.3; B1 = 2,4 – приближения с точност до 0,1. Ако има точка M, тогава OA1 S1=a, S=S1v.
VII Площи на подобни фигури.
Площите на подобни фигури са свързани като квадратите на съответните им линейни размери.
При доказване на това твърдение се използва концепцията за проста фигура, дефиницията на подобни фигури. Ако фигурата е разделена на прости триъгълници, чиито площи са означени с, и фигурата е разделена на триъгълници, чиито площи и фигурите са подобни с коефициент, тогава линейните размери на триъгълниците се променят с пъти, по отношение на размерите на триъгълниците, тогава: и т.н., следователно:
VIII. Площ на кръг.
Кръгът е плоска фигура, но не може да се раздели на прости триъгълници. Следователно, такава фигура има площ, ако съществуват прости фигури, които я съдържат, и прости фигури, съдържащи се в нея с области, произволно малко различни от .
При провеждане на уроци по темата „Квадрат на фигурите“ извеждането на общи формули трябва да се фиксира върху конкретни примери. Излагането на теоретичния материал трябва да бъде възможно най-кратко (в разумни граници), което ще спести време за решаване на по-сложни задачи.задачи. (Възможно е провеждане на уроци-лекции за представяне на теорията). Препоръчително е да се провежда самостоятелна работа, както учебна, така и контролна, във всеки от изследваните случаи.
Задача 1.
а) Разделете дадения триъгълник на три равни части с прави, минаващи през един връх.
б) Разделете дадения успоредник на три равни части с прави, минаващи през един връх.
Аналогично: Следователно точките и разделят съответно отсечките и в съотношение 2:1 от върховете и съответно.
Задача 2.
Докажете, че страните на триъгълник са обратно пропорционални на неговите височини, т.е.
. Тъй като получаваме:
което трябваше да се докаже.
Задача 3.
Докажете, че сред всички успоредници с дадени диагонали ромбът има най-голяма площ.
1ви начин.
Ако е ромб, тогава , т.е. Максималната стойност на произведението зависи от максималната стойност на , която се постига при , ако , тогава . Следователно площта на ромба е най-голямата сред всички области на паралелограми с дадени диагонали.
Втори начин.
Нека съставим функция, изразяваща площта на успоредник:
Тъй като - най-малкият ъгъл, образуван от диагоналите в пресечната точка, тогава той ще бъде максималната точка, следователно: ; и този успоредник е ромб.
Задача 4.
Права, перпендикулярна на височината на триъгълник, разполовява неговата площ. Намерете разстоянието от тази линия до върха на триъгълника, от който е изтеглена височината, ако е равна на .
- трапец, тоест подобен
Тъй като за подобни триъгълници техните площи са свързани като квадрати на съответните линейни размери, тогава:
Съществуват различни методологични подходи към изследването на проблемите на измерванетогеометрични величини в курса по стереометрия.
За да се изведе формулата за обем, може да се използва следното:
- Принцип на Кавалиери: обемите (или площите) на две тела (фигури) са равни, ако площите (дължините) на съответните сечения, начертани успоредно на дадена равнина (права линия), са равни една на друга.
- Формула на Симпсън:
Нека интервалът [a,b] бъде разделен на n частични интервала [xi, xi+1] с дължина, докато n се счита за четно число и се използва следната формула за изчисляване на интеграла върху интервала [x2k, x2k+2]:
Основният момент в теорията на обемите на телата е, че обосноваването на формулата за учениците е доста трудно и сложно. Структурната сложност на доказателството предполага, че при изучаването му е препоръчително да се използват методите за подчертаване на логическата структура на доказателството (разбиване на доказателството на отделни стъпки, съставяне на логико-структурна диаграма на доказателството и др.). Наличието на трудни за разбиране разсъждения в доказателството показва целесъобразността на използването на методи на конкретизация, моделиране и др.
Структурата на доказателството на формулата за обем на правоъгълен паралелепипед:
- задава се стойността на отношението на височините на два паралелепипеда с обща основа;
- задава се стойността на отношението на обемите на избраните паралелепипеди;
- сравнение на получените стойности на съотношенията;
- извеждане на формулата за обем на правоъгълна кутия, прилагане на доказаното свойство към единичен куб и кутии с размери: a,1,1; a,b,1; a,b,c.
При решаване на задачи учениците понякога „бъркат” свойствата на прав и правоъгълен паралелепипед, неправилно посочват диагоналното им сечение и др. По-задълбочено проучване на тези понятия на етапа на тяхното въвежданепредоставя използваната преди това методическа схема:
- анализира емпиричен материал;
- математизират емпиричен материал - конструират определение;
- създават алгоритъм за разпознаване на понятие;
- включва понятието в системата от понятия.
Задача #5.
Лицата на паралелепипеда са равни ромби със страна а и остър ъгъл 60 0 . Намерете обема на паралелепипеда.