Йонг и
Едва ли е необходимо да се говори много за важността на специалните функции за всеки учен и инженер, занимаващ се с практическото приложение на диференциални уравнения. Решаването на различни проблеми, свързани с топлопроводимостта и динамиката, електромагнитните трептения и аеромеханиката, квантовата механика и теорията на потенциала води до специални функции. Най-често те се появяват при решаване на диференциални уравнения в частни производни чрез метода на разделяне на променливи.
Разнообразието от задачи, водещи до специални функции, доведе до бързо нарастване на броя на функциите, използвани в приложенията. Отдавна се появиха множество ръководства по теория на специалните функции. Известният „Курс на модерния анализ“ на Уитакър и Уотсън от Уитакър и Уотсън (Physmatgiz, 1961-1962) принадлежи към броя на тези наръчници, които обхващат относително пълно състоянието на науката към момента на съставянето му. Редица книги са посветени на теорията на отделните класове специални функции (функции на Бесел, Лежандр, Матийо и др.). Обемът на тези книги обаче ги прави не много удобни за използване (например трактатът на Уотсън за функциите на Бесел съдържа почти 800 страници). Ето защо, заедно с монографиите, започнаха да се появяват справочници, съдържащи формули и най-кратки обяснения (един от най-добрите справочници от този тип е книгата: I. S. Gradshtein и I. M. Ryzhik, Таблици на интеграли, суми, серии и продукти, изд. 4, Fizmatgiz, 1963). Но такива справочници могат да се използват само ако човек вече познава теорията на съответния клас функции.
Книгата, представена на вниманието на читателя, заема като че ли междинна позиция между тези два вида публикации. Съдържа кратки, но много ясно написани изводи за основните свойства на изследваните функции, според които човек, който не познава теорията, може да я изучава. Но освен това в неяВключени са множество списъци с формули относно най-важните специални функции. И накрая, всяка глава от книгата е придружена от списък с препратки (поставен в края на книгата), който позволява на читателя да намери допълнителна информация за изучаваните функции.
Тази книга е замислена (в малко по-различна и по-разширена форма) от професора Хари Бейтман от Калтех, един от водещите американски експерти в областта на класическия анализ и неговите приложения към механиката на въздуха и флуида, електромагнитната теория, термодинамиката, геофизиката и др. В продължение на две десетилетия той събира информация, разпръсната в различни монографии и периодични издания за специални функции: техните свойства, интегрални и други представяния, връзки между различни класове специални функции, определени интеграли, съдържащи специални функции и др. В резултат на тази работа беше съставен гигантски картотека, съдържащ почти всичко, свързано с тези въпроси, както и теорията на диференциалните уравнения на математическата физика, интегралните уравнения и др.
Смъртта на Бейтман през 1946 г. прекъсва работата му по планираната енциклопедия на класическия анализ. За обработка на събрания материал е създаден щаб начело с известния английски математик А. Ердейи, в който влизат немските учени В. Магнус и Ф. Оберхетингер и италианският математик Ф. Трикоми.
Тези учени, заедно с група млади математици, ръководени от тях, създадоха, използвайки материалите на Бейтман, уникална работа по теория на специалните функции и интегралните трансформации. Състои се от три тома под общото заглавие "Висши трансцендентални функции" и два тома "Интегрални трансформации". Първите три тома обхващат всички важни класове специалнифункции: гама и бета функции, хипергеометрична функция и изродена хипергеометрична функция, различни обобщения на хипергеометрични функции (функции на Майер, МакРобърт и др.), функции и полиноми на Легендър, функции на Бесел, параболични цилиндрични функции, непълна гама функция, интегрални синус и косинус, вероятностен интеграл, различни класове ортогонални полиноми в една и няколко променливи, хармонични функции на няколко променливи , елиптични функции и интеграли, автоморфни функции, функции на Ламе и Матийо, дзета функция на Риман и др. За всеки от тези класове функции са дадени рекурентни отношения, диференциални уравнения, интегрални представяния, асимптотични формули, различни теореми за добавяне, неравенства и др.
Както вече споменахме, този тритомник се присъединява към двутомника "Интегрални трансформации". Той съдържа подробни таблици за трансформацията на Фурие (обикновена и синусова и косинусова), Лаплас (права и обратна), Мелин, Ханкел, Канторович Лебедев, Хилберт, Стилтьес и много други интегрални трансформации. Така петте тома на справочника в своята съвкупност обхващат почти целия гигантски материал, натрупан в теорията на специалните функции и интегралните преобразувания през двестагодишната история на тяхното развитие (до края на 40-те години на ХХ век). По пълнота на обхващане на материала и плътност на информацията справочникът няма равен в световната литература.
Няма съмнение, че тази енциклопедия на класическия математически анализ ще бъде полезна за много широк кръг читатели. Теоретични и експериментални физици, изследователи в областта на приложния анализ и уравненията на математическата физика, инженери, които са изправени пред решаването на диференциални уравнения, ще използват тази книга.заедно с математици от различни специалности.
Този брой съдържа теорията на хипергеометричната функция и нейните обобщения и специални случаи (по-специално функции на Лежандър и полиноми). В допълнение, той очертава теорията на гама и бета функциите.
Книгата, представена на вниманието на читателя, е първата част от работата, която може да се разглежда като съвременна версия на известния "Курс на съвременния анализ" на Уитакър и Уотсън, по-точно втората част от този курс, посветена на теорията на трансценденталните функции. Бейтман (който беше ученик на Уитакър) замисли своето Ръководство за функциите в гигантски мащаб. В допълнение към подробното представяне на свойствата на най-важните функции, работата трябваше да съдържа историята на тяхното възникване, основните формули, свързани с тях, и библиография, отнасяща се до всички специални функции. Тези функции са каталогизирани и класифицирани според това как са дефинирани: степенни редове, генериращи функции, безкрайни произведения, последователно диференциране, неопределени интеграли, определени интеграли, диференциални уравнения, диференциални уравнения, функционални уравнения, тригонометрични редове, ортогонални редове и интегрални уравнения. Таблици с интегрални представяния на специални функции и таблици със стойности за някои нови функции трябваше да бъдат включени в това "Ръководство". И накрая, той трябваше да съдържа подробни таблици с определени интеграли на специални функции и списък с таблици със стойности за тези функции.
Реалистичната оценка на нашите възможности и определеното време доведе до радикална ревизия на плановете на Бейтман. Само самият Бейтман притежава достатъчно ерудиция, за да покрие теорията на всички функции. Така трябваше да се ограничимпредставяне (вероятно по-малко подробно, отколкото е възнамерявал Бейтман) на най-съществените свойства на тези специални функции, които считаме за най-важни. Разбира се, обедняването на съдържанието на книгата, настъпило в резултат на тази редакция, е много жалко. Позволяваме си обаче да се надяваме, че той до известна степен е балансиран от произтичащото намаляване на обема и по-голяма прозрачност на структурата. Надяваме се, че въпреки че получената книга е по-ниска по обхват на материала от тази на Бейтман, но в обхвата на нашата очертана област, тя ще бъде по-удобна за използване.
Опитахме се да включим в тази книга главно функции, открити в приложната математика. Изборът на включените функции, както и изборът на нотация, е направен въз основа на приетите в математиката. Например, има много обозначения за изродената хипергеометрична функция. Ние използвахме само две от тях, които обикновено се използват в математическите работи, и накратко посочихме други обозначения; обаче не сме засегнали нотацията, използвана в квантовата механика. Изключихме специални функции, които са малко проучени в математиката, дори в случаите, когато за тях съществуват подробни таблици или са полезни в някои практически въпроси. От друга страна, ние сме включили някои специални функции, които обикновено не се разглеждат в произведения от този вид, като функции, които се срещат в теорията на числата, или някои специални видове автоморфни функции. Главите за тези функции трябва да се разглеждат като ориентировъчни и ние сме напълно наясно колко проблематично е това допълнение към обичайното семейство от специални функции.
В по-голямата си част не успяхме да използваме широко обширните бележки на Бейтман; за нас беше по-лесно да съставим раздели относноразлични функции, използвайки знанията си за тези функции и допълвайки ги чрез обикновени търсения в литературата, която е на разположение. В някои случаи обаче бележките на Бейтман са широко използвани. Главата за генериращи функции произтича от каталога на Бейтман за генериращи функции и ние използвахме широко този каталог при компилирането му.
Сложността и обемът на извършената работа правят безсмислени надеждите, че сме успели напълно да избегнем грешки в заключенията и печатни грешки. Подписалият ще бъде благодарен за всички корекции, които могат да бъдат много полезни в случай, че е необходимо второ издание на книгата.
В заключение бих искал да изразя благодарност от името на целия екип на проекта към Калифорнийския технологичен институт и особено към Дийн Е. Уотсън за това, че започнаха тази работа и ни оказаха голяма подкрепа във всички проблеми, с които трябваше да се сблъскаме. Изказвам благодарност и на всички мои колеги, без чието съдействие този труд не би могъл да бъде публикуван.