Как да намерите площта на равнобедрен триъгълник
Понякога въпросът как да се намери площта на равнобедрен триъгълник възниква не само за ученици или студенти, но и в реалния практически живот. Например, по време на строителството става необходимо да се завърши фасадната част под покрива. Как да изчислим необходимото количество материал?
Често такива задачи са изправени пред занаятчии, които работят с плат или кожа. Всъщност много от детайлите, които майсторът трябва да изреже, имат формата на равнобедрен триъгълник.
И така, има няколко начина да помогнете да намерите площта на равнобедрен триъгълник. Първият е да го изчислите по основа и височина.
За решението трябва да построим за яснота триъгълника MNP с основа MN и височина PO. Сега нека завършим изграждането на нещо в чертежа: от точка P начертайте права, успоредна на основата, а от точка M - права, успоредна на височината. Нека наречем пресечната точка Q. За да разберем как да намерим площта на равнобедрен триъгълник, трябва да разгледаме получения четириъгълник MOPQ, в който страничната страна на дадения ни триъгълник MP вече е неговият диагонал.
Нека първо докажем, че е правоъгълник. Тъй като го построихме сами, знаем, че страните на MO и OQ са успоредни. И QM и OP страните също са успоредни. Ъгълът POM е прав, така че ъгълът OPQ също е прав. Следователно полученият четириъгълник е правоъгълник. Намирането на нейната площ не е трудно, тя е равна на произведението на PO и OM. OM е половината от основата на този триъгълник MPN. От това следва, че площта на правоъгълника, който сме построили, е равна на половината от произведението на височината на правоъгълния триъгълник и неговата основа.
Вторият етап от задачата, поставена пред нас, как да определим площта на триъгълник, е доказателството за факта, че полученото от насправоъгълник по площ съответства на даден равнобедрен триъгълник, тоест, че площта на триъгълника също е равна на половината от произведението на основата и височината.
Нека първо сравним триъгълника PON и PMQ. И двата са правоъгълни, тъй като правият ъгъл в единия се образува от височината, а правият ъгъл в другия е ъгълът на правоъгълника. Хипотенузите в тях са страните на равнобедрен триъгълник, следователно те също са равни. Катетите PO и QM също са равни като успоредните страни на правоъгълника. Следователно площта на триъгълника PON и триъгълника PMQ са равни една на друга.
Площта на правоъгълника QPOM е равна на сумата от триъгълниците PQM и MOP. Заменяйки вградения триъгълник QPM с триъгълника PON, получаваме общо триъгълника, даден ни за извеждане на теоремата. Сега знаем как да намерим площта на равнобедрен триъгълник при основа и височина - изчислете техния полупродукт.
Но можете да научите как да намерите площта на равнобедрен триъгълник, дадени в основата и страната. Тук също има два варианта: Хероновата и Питагоровата теорема. Помислете за решение, използващо Питагоровата теорема. Например, нека вземем същия равнобедрен триъгълник PMN с височина PO.
В правоъгълен триъгълник POM MP е хипотенузата. Нейният квадрат е равен на сумата от квадратите на PO и OM. И тъй като OM е половината от основата, която знаем, можем лесно да намерим OM и да повдигнем числото на квадрат. Като извадим полученото число от квадрата на хипотенузата, откриваме на какво е равен квадратът на другия катет, който е височината в равнобедрен триъгълник. След като намерим корен квадратен от разликата и знаем височината на правоъгълен триъгълник, можем да дадем отговор на поставената пред нас задача.
Просто трябва да умножите височината по основата и да разделите резултата наполовина. Защоточно това трябва да направим, обяснихме в първата версия на доказателството.
Случва се, че трябва да направите изчисления отстрани и ъгъл. След това намираме височината и основата, използвайки формулата със синуси и косинуси, и отново ги умножаваме и разделяме резултата наполовина.