Как да разберем квантовата механика - Страница 8

3.1. ПО ВЕРОЯТНОСТТА И АМПЛИТУДАТА НА ВЕРОЯТНОСТТА

И нека извършим измерване на тази класическа система, която установи, че x принадлежи към определен сегмент x [ a, b ] . Вероятността измерването да даде такъв резултат е

Веднага след такова измерване вероятността (плътността на вероятността) за всяка стойност на x извън дадения интервал изчезва. За точките вътре в сегмента съотношенията на вероятностите не са се променили. По този начин

вероятността ще бъде дадена, както следва:

Можем да опростим формулите за класическите вероятности, като се отървем от сумите, ако използваме Дирак. δ ( x ) е безкрайно тесен и безкрайно висок връх, намиращ се на нула, така че интегралът от него е равен на 1. - не реална функция, а обобщена. Стойността на обобщената ¨ функция f ( x ) в точката x 0 може да не е дефинирана, но за всяка „достатъчно добра“ функция ϕ ( x ) интегралът е дефиниран ¨

Дефиницията е съотношението:

δ ( x ) ϕ ( x ) dx = ϕ (0) .

Можем да модифицираме вероятностното разпределение, така че да описва и вероятностите за дискретни събития:

p x 0 · δ ( x − x 0 ) .

Сега можем да напишем общата вероятност така:

Трябва да се отбележи, че този метод за премахване на суми няма да работи за вероятностни амплитуди, тъй като това ще изисква извличане от квадратен корен, а извличането на корен от обобщени функции не е дефинирано.

( х )

Ориз. 3.3. Промяна в разпределението на вероятностите за положителни и отрицателни резултати от измерване.

По този начин сегментът [ a, b ] е „изрязан“ от първоначалното разпределение на вероятностите, всички вероятности извън него са зададени на нула и всички вероятности на този сегмент са разделени на p [ a, b ], така че общиятвероятността за ново разпределение отново се оказа единица.

Нека квантовата система е в суперпозиция на състояния, номерирани с параметъра x, и са ни дадени вероятностни амплитуди, т.е. ако x

дискретно, тогава повдигането на квадрат на амплитудата по модул дава¨ вероятността за всяка стойност x, и ако x е непрекъснато, тогава повдигането на квадрат на амплитудата по модул дава¨ плътността на вероятността като функция на x. В този случай общата вероятност, получена чрез сумиране (интегриране) на вероятността (плътността на вероятността) за всички стойности на x, е равна на 1.

И нека извършим измерване на тази квантова система, което установи, че x принадлежи към определен сегмент x [ a, b ] . Вероятността измерването да даде такъв резултат е

p [ a, b ] = ψ ( x ) 2 dx.

3.1. ПО ВЕРОЯТНОСТТА И АМПЛИТУДАТА НА ВЕРОЯТНОСТТА

( х )

Ориз. 3.4. Промяна на вълновата функция при положителни и отрицателни резултати от измерването.

Веднага след такова измерване амплитудата на вероятността за всяка стойност на x извън дадения интервал изчезва. За точките вътре в сегмента съотношенията на амплитудите на вероятностите не са се променили. По този начин сегментът [ a, b ] е „изрязан“ от оригиналната вълнова функция, всички амплитуди извън него са зададени на нула и всички амплитуди на този сегмент са разделени на √ p [ a, b ], така че общата вероятност за новото разпределение отново да се окаже единица.

Измерване и проектор

Операцията на изрязване на сегмента [ a, b ] от вълновата функция можем

опишете с помощта на линейния оператор P [ a, b ] :

P [ a, b ] ψ ( x ) = I [ a, b ] ( x ) ψ ( x ),

където I W е характеристичната функция на множеството W

1, x W, I W ( x ) = 0, x W.

Операторът P [ a,b ] е проектор(т.е. той проектира всички вълнови функции върху някакво линейно подпространство на вълновите функции), което означава, че прилагането на този оператор два пъти дава същия резултат като еднократното му прилагане

P [ a, b ] P [ a, b ] ψ ( x ) = I [ a, b ]

( x ) ψ ( x ) = I [ a, b ] ( x ) ψ ( x ) = P [ a, b ] ψ ( x ) .

Като дефинираме продукт от оператори като оператор, чието действие върху произволна вълнова функция дава същия резултат като последователното действие (отдясно наляво) на всички фактори, можем да напишем дефиницията на проектор, както следва:

В бъдеще ще се занимаваме с други линейни оператори, действащи върху вълнови функции, и много физически значими оператори ще бъдат свързани с проектори.

3.1.5. Амплитуда на измерване и точков продукт

Нека вълновата функция Ψ(n) дефинира амплитудата на вероятността за откриване на системата във взаимно изключващи се състояния φn, номерирани с дискретния параметър n. Състоянията φ n образуват максималното множество от взаимно изключващи се състояния, т.е. ако системата е в състояние φ n, тогава тя не може да бъде намерена в състояние φ k (k = n), освен това множеството не може да бъде разширено.

Тъй като общата вероятност е единица, трябва да зададем условието за нормализиране на единица:

Ψ 2 = Ψ Ψ = Ψ( n ) 2 = 1 .

Така имаме естествена операция за вземане на скаларния квадрат на вълновата функция. Имайки операцията точков квадрат, можем да въведем операцията точков продукт:

Компонентът на вълновата функция Ψ( n ) може да бъде написан като скаларно произведение на функцията Ψ и базисната функция φ n ( φ n ( k ) = δ nk ),

3.1. ПО ВЕРОЯТНОСТТА И АМПЛИТУДАТА НА ВЕРОЯТНОСТТА

което също е нормализирано до единица:

Ψ( n ) =φ n Ψ = Ψ φ n , φ n φ k = δ nk

Вече знаем физическото значение на компонента Ψ( n ) на вълновата функция като амплитудата на вероятността система в състояние Ψ да бъде намерена в състояние φ n и това ни позволява да установим физическото значение на скаларното произведение на две вълнови функции, нормализирани до единица. Аргументите на точковото произведение са равни (с точност до комплексно спрежение), така че Ψ ( n ) = Ψ φ n е амплитудата на вероятността на обратния процес, т.е. амплитудата, че системата, която е била в състояние φ n , ще се намери в състояние Ψ .

Можем физически да интерпретираме формулата за скаларно умножение на вълнови функции от гледна точка на умножение и събиране на вероятностни амплитуди.

Нека Ψ определя началното състояние на системата, а Φ крайното ( Ψ 2 = Φ 2 = 1 ). Обмисляме измерване, което трябва да отговори на въпроса "Дали системата е в състояние Φ?" Ще считаме скока до състояние Φ като „благоприятен“ резултат от измерването.

Можем да приемем, че преходът от състояние Ψ към състояние Φ се осъществява през всяко междинно състояние φ n и принципно е невъзможно да се определи през кое от състоянията φ n е преминала системата.

Амплитудата на прехода от Ψ към Φ през φ n е дадена¨ като произведение на амплитудите на прехода от Ψ към φ n и от φ n към Φ:

A Φ ←φ n ← Ψ = Φ ( n ) Ψ ( n ) .

Общата амплитуда на прехода се дава¨ от сумата (интеграл, в случай на непрекъснат спектър върху n) за всички междинни състояния φ n:

A Φ ← Ψ = Φ ( n ) Ψ ( n ) .

Изчисляването на амплитудата на прехода може да бъде представено на фиг. 3.5, което по същество е друга форма на формулата (3.13) .

Така се оказва, че за вълновите функции има физически значим скаларпродукт, който дава за вълнови функции, нормализирани до единица, амплитудата на вероятността за преход от единица

*(2) (2)

Ориз. 3.5. Преходът от Ψ към Φ се осъществява през всички възможни взаимно изключващи се състояния n по стрелките със съответните амплитуди съгласно (3.13) .

състояние на друго, когато се измерва. Самата структура на формулата за скаларно произведение има физически смисъл, показващ, че преходът се осъществява през всички възможни взаимно изключващи се междинни състояния.

Наборите от амплитуди Ψ( n ) и Φ( n ) могат да се разглеждат като компоненти на комплексни вектори. Тогава замяната на основата ще съответства на замяната на набора от взаимно изключващи се състояния φ k (базис) с нов набор от състояния (базис) φ k , който се състои от суперпозиции (линейни комбинации) на състоянията на стария базис. Разширението в новия базис няма да бъде по-лошо от разширението в стария, ако новият базис също е ортонормиран, т.е. ако скаларният продукт (3.13) е даден в него от предишната формула.

Оказва се естествено вълновите функции да се разглеждат като сложни вектори (възможно безкрайномерни). В този случай аргументите на вълновата функция изброяват векторните компоненти в конкретна основа,

и стойността на вълновата функция в точката действа като компонент на вектора.

3.2. Всичко е възможно¨, което може да се случи (f*)

Нека си представим следния експеримент, при който частици излитат от източник и падат върху фотографска плака, върху която се появява интерферентна картина. Да предположим, че първоначално няма препятствия между източника и фотографската плака (фиг. 3.6). Сега нека поставим екран с два процепа между фотографската плака и източника (фиг. 3.7). За да получите амплитудата на вероятността частица да удари определена точка на плочата,

3.2. ВСИЧКО Е ВЪЗМОЖНО, КОЕТО МОЖЕ ДА СЕ СЛУЧИ (F*)

трябва да добавим амплитудите на частицата, удряща дадена точка по два различни начина: през първия процеп и през втория. Всяка от тези амплитуди се изчислява като произведение на амплитудата на попадение в съответния слот и условната амплитуда на попадение от този слот до дадена точка на табелата

A f = A 1 A 1 → f + A 2 A 2 → f .

Ориз. 3.6. Частиците падат безпрепятствено върху екрана.