Въведение в анализа
Теория на опашката (QS)
Системи диференциални уравнения: понятия и определения
Система от обикновени диференциални уравнения
разрешена по отношение на по-високи производни [math]y_1^,y_2^,\ldots,y_n^[/math] , се нарича канонична система. Тя прилича на
Редът на системата (1) е числото [math]p[/math] равно на [math]p=k_1+k_2+\ldots+k_n[/math] .
Пример 1. Редуцирайте системата от диференциални уравнения до канонична форма
Решение. Тази система има трети ред, тъй като [math]k_1=2,
k_2=1[/math] и следователно [math]p=3[/math] . Решавайки първото уравнение по отношение на [math]y''_1[/math] и второто по отношение на [math]y'_2[/math] , получаваме каноничната система
Система от обикновени диференциални уравнения от първи ред на формата
където [math]t[/math] е независимата променлива; [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] са неизвестни функции на [math]t[/math] , наречена нормална система.
Числото [math]n[/math] се нарича ред на нормалната система (3). Две системи от диференциални уравнения се наричат еквивалентни, ако имат еднакви решения.
Всяка канонична система (2) може да бъде редуцирана до еквивалентна нормална система (3) и редът на тези системи ще бъде същият.
Пример 2. Редуцирайте следната система от диференциални уравнения до нормална система:
Решение. Да сложим[математика]x=x_1,
y=x_3[/math] . Тогава ще имаме [math]\frac=x_2,
\frac=\frac[/math] и дадената система се редуцира до следната нормална система от трети ред:
Пример 3. Приведете диференциалното уравнение [math]\frac+p(t)\frac+q(x)x=0[/math] към нормалната система.
Решение. Нека [math]x=x_1,
\frac=\frac\,.[/math] Като заместим тези изрази в това уравнение, получаваме
Нормалната система ще изглежда така
Решението на система (3) в интервала [math](a,b)[/math] е набор от произволни [math]n[/math] функции
дефинирани и непрекъснато диференцируеми в интервала [math](a,b)[/math], ако превърнат уравненията на система (3) в идентичности, валидни за всички стойности на [math]t\in(a,b)[/math] .
Пример 4. Покажете, че системата от функции [math]x_1=-\frac,
x_2=-t\ln[/math] , дефиниран в интервала [math]0 , е решение на системата от диференциални уравнения
\frac=-1-\ln[/math] . Замествайки в уравнението на тази система вместо [math]x_1,\,x_2[/math] [math]\frac[/math] и [math]\frac[/math] техните изрази чрез [math]t[/math] , получаваме идентичностите
Проблемът на Коши за система (3) е проблемът за намиране на решение
на тази система, която отговаря на началните условия
където [math]t_0,\,x_1^0,\,x_2^0,\,\ldots,\,x_n^0[/math] са дадени числа.
Теорема за съществуване и единственост за решението на задачата на Коши.
Нека имаме нормална система от диференциални уравнения (3) и нека функциите [math]f_i(t,x_1,x_2,\ldots,x_n),[/math] [math]i=1,2,\ldots,n[/math] , са дефинирани в някакъв n+1-измерен регион [math]D[/math] на промяната на променливите [math]t,x_1,x_2,\ldo ts,x_n[/math] . Ако има съседство [math]\Omega[/math] на точката [math]M_0(t,x_1^0,x_2^0,\ldots,x_n^0)[/math], къдетофункциите [math]f_i[/math] са а) непрекъснати, 6) имат ограничени частични производни по отношение на променливите [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] , тогава има интервал [math]t_0-h на промяна [math]t[/math] , в който има уникално решение на нормалната система (3), което удовлетворява началните условия (4).
Система [math]n[/math] от диференцируеми функции
независима променлива [math]t[/math] и [math]n[/math] на произволни константи [math]C_1,C_2,\ldots,C_n[/math] се нарича общо решение на нормалната система (3), ако: 1) за всякакви допустими стойности на [math]C_1,C_2,\ldots,C_n[/math], системата от функции (5) превръща уравнения (3) в идентичности, 2) в областта, където са изпълнени условията на теоремата на Коши, функциите (5) решават всеки проблем на Коши.
Пример 5. Покажете, че системата от функции
е общо решение на системата от уравнения
Решение. В този пример областта [math]D[/math] е
Замествайки функциите [math]x_1(t)[/math] и [math]x_2(t)[/math] от (6) в системата от уравнения (7), получаваме идентичности в [math]t[/math], които са валидни за всякакви стойности на константите [math]C_1,\,C_2[/math] . Така условие 1), което определя общото решение, е изпълнено.
Нека проверим изпълнението на условие 2). Обърнете внимание, че за системата от уравнения (7) условията на теоремата за съществуване и уникалността на решението на проблема на Коши са изпълнени в цялата област [math]D[/math], дефинирана от отношения (8). Следователно всяка тройка от числа [math]t_0,\,x_1^0,\,x_2^0[/math] може да се приеме като начални условия. Тогава отношенията (6) ще дадат дефиницията на [math]C_1,\,C_2[/math] системата
Детерминантата на тази система е [math]\Delta=-4e^\ne0[/math] ; следователно е уникално разрешимо по отношение на [math]C_1,\,C_2[/math] за всеки [math]x_1^0,\,x_2^0[/math] и [math]t_0[/math] . Това е еквивалентно навсеки проблем на Коши е разрешим. И така, системата от функции (6) е общото решение на системата от уравнения (7).
Решенията, получени от общите за конкретни стойности на константите [math]C_1,C_2,\ldots,C_n[/math] се наричат частни решения.
Пример 6. Имайки общо решение (6) на система (7), намерете конкретно решение на тази система, което удовлетворява началните условия [math]x_1(0)=0,[/math] [math]x_2(0)=-4[/math] .
Решение. Проблемът се свежда до намиране на такива стойности на константите [math]C_1[/math] и [math]C_2[/math], така че отношенията
Решавайки тази система, намираме [math]C_1=-1,
C_2=1[/math] . Желаното конкретно решение
Забележка 1. Не всяка система от диференциални уравнения може да се сведе до едно уравнение. Например системата
се разпада на две независими уравнения. Общото решение в този случай се получава чрез интегриране на всяко уравнение поотделно:
Забележка 2. Ако броят на уравненията в системата е [math]n[/math] , а броят на желаните функции е [math]N[/math] и n">[math]N>n[/math] , тогава такава система е неопределена. В този случай човек може произволно да избере [math]N-n[/math] от желаните функции (само ако те бяха необходимия брой диференцируеми пъти) и , в зависимост от тях, намерете останалите [math]n[/math] функции .
Забележка 3. Ако системата се състои от [math]n[/math] уравнения и броят на необходимите функции е [math]N[/math] и [math]N , тогава тази система може да се окаже непоследователна, т.е. без решение.
Нека (за простота) е дадена нормална система от две диференциални уравнения
Ще разгледаме системата от стойности [math]t,\,x_1,\,x_2[/math] като правоъгълни декартови координати на точка в триизмерното пространство, отнесена към координатната система [math]Otx_1x_2[/math] . Решение[math]x_1=x_1(t),[/math] [math]x_2=x_2(t)[/math], което приема [math]t=t_0[/math] стойността [math]x_1^0,x_2^0[/math], изобразява в това пространство някаква линия, минаваща през точката [math]M_0(t_0,x_1^0,x_2^0)[/math] . Тази линия се нарича интегрална крива (линия) на нормалната система (9).
Проблемът на Коши за система (9) получава следната геометрична формулировка: в пространството на променливите [math](t,x_1,x_2)[/math] намерете интегралната крива, минаваща през дадена точка [math](t_0,x_1^0,x_2^0)[/math] . Теоремата на Коши установява съществуването и уникалността на такава линия.
Нормалната система (9) и нейното решение могат да получат друга интерпретация. Ще разглеждаме независимата променлива [math]t[/math] като време, а системата от стойности на функциите [math]x_1,x_2[/math] като правоъгълни декартови координати на точка в равнината [math]x_1Ox_2[/math] . Тази равнина на променливи [math]x_1Ox_2[/math] се нарича фазова равнина. Във фазовата равнина решението [math]x_1=x_1(t),[/math] [math]x_2=x_2(t)[/math] на система (9), което приема началните стойности [math]x_1^0,x_2^0[/math] при [math]t=t_0[/math] , е изобразено от линията [math]AB[/math] (фиг. 28), минаваща през точката [math]M_0(x_1^0,x_2^0)[ /math]. Тази линия се нарича траектория на системата (фазова траектория). Очевидно траекторията на системата (9) е проекцията на интегралната крива върху фазовата равнина.
Система (9) определя във всеки момент от време [math]t[/math] в дадена точка [math]x_1,x_2[/math] от фазовата равнина координатите на скоростта [math]\[/math] на движещата се точка.
Пример 7. Решете система от уравнения
Решение. Диференцирайки веднъж по отношение на [math]t[/math] първото уравнение на системата (10) и замествайки [math]\frac=-x[/math] в полученото уравнение, свеждаме системата (10) до едно уравнение от втори ред[math]\frac+x=0[/math] чието генериращо решение
Тъй като [math]y=\frac[/math] , тогава [math]y=-C_1\,\sin+C_2\,\cos[/math] ; така че общото решение на система (10):
Частно решение на система (10), което удовлетворява началните условия (11), ще бъде
Елиминирайки [math]t[/math] от уравнения (13) (чрез повдигане на квадрат и добавяне по членове), получаваме фазовата траектория
където [math]R=\sqrt[/math] . Това е окръжност, минаваща през точката [math]M_0(x_0,y_0)[/math] . Представяне на уравнения (13) във формата
\cos\alpha=\frac[/math] , отбелязваме, че уравнения (15) изразяват зависимостта от времето на текущите координати на точката [math]M(x(t),y(t))[/math] или накратко [math]M(t)[/math] , която започва движението си при [math]t=0[/math] от точката [math]M_0(x_0,y_0)[/ma th] и се движи по кръга (14) (фиг. 29, а).
Посоката на движение на точката [math]M(t)[/math] се определя с помощта на дадената система (10). At 0">[math]x>0[/math] , according to the equation [math]\frac=-x[/math] , the value of [math]y[/math] decreases (as, for example, at the point [math]M_1(t)[/math] ), and at [math]x, the value of [math]y[/math] increases (as, for example, at the point [math]M_2(t)[/math] ). Thus, the point [math]M (t)[/math] moves clockwise along curve (14) By changing the initial conditions (11) arbitrarily (remaining, however, within physically admissible limits), i.e., changing the position of the initial point [math]M_0(x_0,y_0)[/math] arbitrarily, we obtain all possible phase trajectories (14).
Нека сега дадем друга интерпретация на уравнения (15) (или, което е същото, уравнения (13)). В 3D пространството нека вземем правилната декартова координатна система [math]Oxyz[/math] . Лесно се вижда, че точката [math]N(x(t),y(t),z(t))[/math] (или накратко [math]N(t)[/math] ) с координати (фиг. 29,b)
очевидно,че точката [math]N_0[/math] съвпада с точката [math]M_0[/math] и че за всяко [math]t[/math] точката [math]N(t)[/math] се проектира към точката [math]M(t)[/math] на фазовата траектория. Тъй като точката [math]M(t)[/math] се движи по посока на часовниковата стрелка, интегралната крива, описана от точката [math]N(t)[/math], е лява спирала върху цилиндър с кръг (14) в основата и генератори, успоредни на оста [math]Oz[/math] . За различни позиции на точката [math]N_0(x_0,y_0,0)[/math] интегралните криви на системата (10), съответстващи на различни стойности на [math]R=\sqrt[/math], се проектират върху равнината [math]xOy[/math] в различни криви (14), а интегралните криви, съответстващи на същата стойност на [math]R[/math], се проектират в една и съща крива (1 4).
Интегралът на нормалната система (3) е функцията [math]\psi(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math] , дефинирана и непрекъсната заедно с нейните частични производни от първи ред [math]\frac,
\frac,[/math] [math]k=1,2,\ldots,n[/math] , в областта [math]D[/math] , ако след заместване на произволно решение [math]x_1(t),x_2(t),\ldots,x_n(t)[/math] на система (3) в него, то приема постоянна стойност, т.е. функцията [math]\psi(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math] зависи само от избора на решение [math]x_1(t),x_2(t),\ldots,x_n(t)[/math] , но не и от променливата [math]t[/math] .
Първият интеграл на нормалната система (3) е равенството
където [math]\psi(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math] е интегралът на система (3), а [math]C[/math] е произволна константа. Понякога първият интеграл на система (3) се нарича интеграл на тази система.
Пример 8. Покажете, че функцията
дефиниран в областта [math]D\colon t\ne0,\,-\infty , е интеграл на системата от уравнения
Решение. Замествайки (19) в (17),получаваме
в областта [math]D[/math] . Следователно функция (17) е интеграл от системата от уравнения (18) в областта [math]D[/math], което означава, че първият интеграл на тази система ще бъде [math]\frac-x_1=C[/math] , където [math]C[/math] е произволна константа.
Теорема. За да бъде функцията [math]\psi(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math] интеграл на система (3), е необходимо и достатъчно условието
в областта [math]D[/math] .
Пример 9. Покажете, че функцията
е интеграл от системата от уравнения
Решение. В такъв случай
Намерете частични производни на тази функция [math]\psi(t,x_1,x_2)[/math] . Ние имаме
Замествайки (23) и (24) в лявата част на (20), получаваме
в областта [math]D\colon\,-\infty .
И така, функция (21) е интеграл на системата от уравнения (22) и следователно първият интеграл на системата (22) ще бъде
Нормалната система (3) има безкраен набор от системи от първи интеграли.
Интегралите [math]\psi_1,\psi_2,\ldots,\psi_n[/math] на система (3) се наричат независими по отношение на желаните функции [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math], ако няма връзка от формата [math]F(\psi_1,\psi_ 2,\ldots,\psi_n)=0[/math] за всеки избор на функция [math]F[/math], която не зависи изрично от [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] .
Теорема. За да могат функциите [math]\psi_1,\psi_2,\ldots,\psi_n[/math] , които имат частични производни [math]\frac[/math] [math](i,k=1,2,\ldots,n)[/math] , да бъдат независими по отношение на [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] в някакъв домейн [math] D[/math], необходимо и достатъчно е ian на тези функции да е ненула в областта [math]D[/math],
Общият интеграл на нормалната система (3) е множеството[math]n[/math] независими първи интеграли на тази система.
Ако са известни [math]k[/math] , където [math]k , на независими първи интеграли на система (3), тогава нейният ред може да бъде намален с [math]k[/math] единици.
|