Концепцията за оператор за отместване на забавяне
Прочетете също:
|
Операторът на смяна и свързаните с него структурни компоненти са езикът, на който се описват прогнозните модели [3, 56, 58, 69]. Операторът за смяна, означен със символа L, работи върху ред, въвеждайки закъснения (лагове) в него, така че
и така нататък. В общия случай обаче ще кажем, че говорим за използване на полиноми от оператора за смяна. Полином в оператора на смяна на степенmе линейна функция на различни степени на L доmта степен
Пример за полином от оператора на смяна на m-та степен, работещ върху серии, например L m yt = yt – m. Добре известният оператор за разлика от първи ред D всъщност е полином от първа степен в оператора за отместване: = (1 – L)yt = yt – yt – 1.
Например, ако е необходимо да се разгледа полином от втора степен от оператора за смяна на формата (1 + 0.78L + 0.65L 2 ), действащ върху серията yt. Еквивалентно, това условие може да се запише като равенство
което е претегленосумата или разпределеното забавяне на настоящите и минали стойности на серията yt.
Всичко разгледано по-горе се отнася до полиноми с крайна степен. Полином от безкраен ред може да бъде записан като
B(L) = b0 + b1L + b2L 2 + … = .
Така, например, за да се представи разпределен лаг на текущи и минали смущения от безкраен ред, може да се напише
B(L) et = b0et + b1et-1 + b2et-2 + … = .
Моделите, съдържащи безкраен брой разпределени закъснения, са централни за моделирането и прогнозирането на времеви редове. Това намира израз в така наречената теорема на Уолд [39, 61, 74].
Много модели на времеви редове не противоречат на условията на стационарност. Така че, ако знаем, че серията е стационарна, това все още не дава ясен отговор на въпроса какъв модел можем да приложим, за да опишем динамиката на серията. Тенденцията и сезонните модели, които вече проучихме, не се прилагат тук, тъй като те описват специфични нестационарни компоненти. Изследователят се нуждае от подходящ модел за симулиране на стационарните остатъци на времевия ред. Теоремата за представителство на Уолд показва подходящия вид модел.
Теорема.Нека t> ще бъде всеки стационарен процес с нулево средно, който не съдържа детерминистични компоненти. Тогава този процес може да бъде написан като
yt = B(L)et = , където et
WN(0, s 2 ), за b0 = 1 и .
С други думи, моделът за всяка стационарна серия е безкрайно разпределен лаг на бял шум, наречен представяне на Wold. Такова представяне на серия се нарича общ линеен процес. Общо, тъй като всяка стационарна серия може да бъде записана в тази форма, и линейна, защото представянето на Wold изобразява серия във форматалинейна комбинация от неговите иновации (т.е. предишните му стойности).
С оглед на особеното значение за прогнозиране на общия линеен процес, нека разгледаме неговите условни и безусловни моменти. Познавайки средните и дисперсиите на серията, лесно можем да получим нейните безусловни моменти, т.е. математическо очакване на серия
M(yt) = M = = = 0
и дисперсията на серията
D(yt) = D = = .
Условното очакване на серия се определя като
= 0 + b1et-1 + b2et-2 +…=
и условната дисперсия на серията
От съществено значение е, че условната средна стойност се измества във времето в отговор на промяна в информационното пространство. Моделът улавя промените в процеса и подвижната средна е един от начините за интегриране на тези промени. Важна цел при моделирането на времеви редове, особено за прогнозистите, е да се улови динамиката на условната средна (тъй като безусловната средна е постоянна, това е един от признаците за стационарност на серията), а условната средна се променя в отговор на еволюцията на оригиналното информационно пространство.