Конусност. Тангенс и котангенс на остър ъгъл
Кръглите продукти, стесняващи се в права линия към единия край, се казва, че имат "конус". Конусността се измерва чрез намаляването на радиуса на кръга на напречното сечение за всеки сантиметър от дължината на продуктите. Ако например радиусът на окръжността на напречното сечение на продукта намалява с всеки сантиметър с 0,25 mm, тогава конусността на продукта е 0,25 mm на 1 cm.
Лесно е да се изчисли, че ако дължината на продукта е 40 см, тогава от единия край до другия той се стеснява с 20,25 мм 40 = = 20 мм= 2 см. 0,3 мм; означава, че "конусността" на този продукт е 0,3 mm на 1 cm (или 0,3: 10 \u003d 0,03).
И така, конусът се измерва чрез съотношението на краката (фиг. 227)BC: ACв правоъгълен триъгълникABC. Това съотношение определя наклона на линиятаABкъмLCи следователно може да служи като мярка на ъгълаBAC.
От този пример виждаме, че в допълнение към вече познатия ни градусен метод за измерване на остри ъгли, можем да използваме друг метод. Този метод се състои в това, че отношението на противоположния катет към съседния катет в този триъгълник, който е отрязан от този ъгъл с перпендикуляр към една от страните, се приема като мярка за остър ъгъл. Например, ъгълътA(фиг. 228) може да бъде измерен чрез отношениетоBC: ABили отношениетоED: AEравно на него (защо тези отношения са равни?), или също така отношениетоMN: ANравно на тях (защо това отношение е равно на предишните?). Всяко от тези равни съотношения се нарича тангенс на ъгълAи се означава сtangилиtg.
Лесно е да се разбере, че всеки остър ъгъл съответства на определендопирателна. Възможно е да се намери стойността на тангенса за всеки ъгъл с помощта на чертежа, като се измери дължината на съответните линии и се изчисли тяхното съотношение. По този начин можете да направите таблица на допирателните за всички ъгли от 1 ° до 10 °. Този метод е прост, но не достатъчно точен. Има начини (твърде сложни, за да бъдат разгледани тук) за намиране на тангенси с някаква точност чрез изчисления. Готовата таблица на изчислените по този начин допирателни за всички остри ъгли от 0° до 90° е приложена в края на книгата (заедно с някои други величини, които ще бъдат обсъдени по-късно).
Ако започнем да променяме стойността на ъгъла от 0° на 90° и проследим как се променя стойността на тангенса в този случай, ще забележим следното. Когато ъгълът е близо до 0°, тогава тангенсът е близо до нула; следователно условно се записва, чеtg0° = 0. С увеличаване на ъгълаtgтой бързо се увеличава и при 90° перпендикулярът към едната страна на ъгъла изобщо не се среща с другата: пресечната точка, както се казва, „премахва до безкрайност“. Следователно смятайте, чеtg90 ° = безкрайност.
За някои ъгли тангентата може да се изчисли с много просто изчисление. Например тангенсът на ъгъл от 45° е (фиг. 229)BC: AB= 1 (защо?). Тангенсът на ъгъл от 30° (фиг. 230) е равен наBC: AB;, но в триъгълникACB
Вместо съотношението на противоположния катет към съседния, е възможно да се вземе обратното съотношение на съседния катет към противоположния за измерване на острите ъгли. Това отношение се нарича тангенс на ъгъла и се означава със знака cotg. От ада. 228 имаме:
Като цяло има следната връзка между тангенс и котангенс:
Лесно е да се разбере, че с увеличаване на ъгъла неговият тангенс се увеличава, а котангенсът намалява.
Помислете за друга връзка между големината на тангенса и котангенса на острите ъгли. отправоъгълен триъгълникABS(фиг. 231), виждаме:
И тъй като сумата от ъглитеAиBе равна на 90° (тези ъгли, както се казва, са "допълнителни"), тоtg A=cotg(90 -A); cotg A=tg(90 -A).
tg30° =cotg60°;tg17° =cotg73° и т.н.
Изразявайки устно тази зависимост, установяваме правилото:
t a n g e ns s u r c o n g e n co t a n g e n c o n d o n d o n d o n g e r o n g e .
На тази основа таблицата на тангенсите и таблицата на котангенсите на ъглите могат да бъдат сведени до една таблица, чиято структура сега ще обясним.
Таблица на тангенсите и котангенсите
За успешното прилагане на понятията тангенс и котангенс на практика е необходимо да можете да намирате тангенсите и котангенсите на различните ъгли в таблицата и обратно – да търсите ъгъл, ако е известен неговият тангенс или котангенс.
Нека се изисква да се намери tg24° в таблицата. Срещу числото 24 от лявата колона намираме в колона"tg"(отгоре) числото 0,45; това е tg24° (засега ще пренебрегнем графикитеsinиcos).
Също така е лесно да се търсят тангентите на всички ъгли от 1 s до 45 ° в таблицата. Тангентите на ъгли от 45° до 89° се намират малко по-различно. Например, търсим tg57° в колоната"tg",отдолу и го намираме срещу числото 57° от дясната колона: 1.54 (в същото време 1.54 еcotg33°, защото 33 = 90° - 57°).
По подобен начин намираме котангенсите на други ъгли, изразени като цяло число градуси.
Намирането наtgна ъгъл, който не е цяло число градуси, изисква малко допълнително изчисление. Намерете например tg38°40'. Намиране на tg38° и tg39°.
tg38° = 0,78,tg39° = 0,81
Определена е разлика от 1° или 60'виждаме увеличение на тангенса с 0,03. За малка разлика в ъглите може да се има предвид. че разликата на тангенсите (и котангенсите) е пропорционална на разликата на ъглите, т.е.
tg38°40? - 0,78 \u003d 0,03? 2 / 3 \u003d 0,02
tg38°40? = 0,78 - 0,03 = 0,80.
И така, намерихмеtg ъгъла, от който се нуждаем, въпреки че не е поставен директно в таблицата.
По същия начин намираме:
tg76°24? = 4,01 + 0,32?24/60 = 4,14
cotg[11] 21°14? \u003d 2,61 - 0,13? 14 / 60 \u003d 2,58
Обратно: намирането на ъгъла, койтоtgилиcotgе известен в случай, че дадената стойностtgилиcotgе в таблицата, не изисква обяснение. Например, ъгълtg, който е 0,27, е 15°; ъгълътcotg, който е 0,78, е 52° и т.н. Ако даденитеtgилиcotgне са в таблицата, е необходимо допълнително изчисление. Нека, например, имаме ъгъл, чийто cotg =2, 19. Най-близкият по-малък [12] ъгъл, наличен в таблицатаcotgе 2.25, който се различава от дадения с 0.06. Разликата между този ъгъл и най-близкия голям наличен в таблицата (2.14) е 11. Подобно на предишния, съставяме пропорцията
И следователно неизвестен. ъгъл = 66°33' (със заобляне 66°30').
По същия начин намираме, че ъгълът, чийто тангенс е 0,86, е равен на 40°+ 60?2/3= 40°40’ и т.н.
(Предвид ниската точност на таблиците, броят на минутите трябва да се закръгли до цели десетки).
Приложение
Нека сега разгледаме няколко задачи, при решаването на които се използва таблица с тангенси и котангенси (такива изчисления се наричат тригонометрични изчисления).
104. Намерете стойността на острите ъгли на триъгълник, чиито катети са 16 cm и 23 cm.
Решение Тангенсът на най-малкия от желаните ъгли (фиг. 231)
откъдето (според таблицата) желанотоъгълx= 34°20’.
105. Телеграфен стълб с височина 8 м хвърля сянка с дължина 13,5 м. Под какъв ъгъл се срещат слънчевите лъчи със земята?
Решението очевидно се свежда до намирането на ъгълtg, от който = 8/13.5 =0.52
106. Перпендикуляр, пуснат от върха на триъгълник, има дължина 62 см и разделя срещуположната страна на отсечки с дължини 38 см и 29 см. Намерете ъглите на триъгълника.
Решение Първо намираме (фиг. 232) стойността на ъгълA, tgот който е 16/29; тогава стойността на ъгълаC, tg, който е 16/38
(как да намеря третия ъгъл?).
107. Острият ъгъл на правоъгълен триъгълник е 48°, прилежащият катет е 83 см. Намерете друг катет.
Решение (фиг. 231). Ако ъгълА –е 48°, аABе 83 cm, то
BC/AB = BC/83= tgA= tg48° = 1,11,
108. Намерете страната на правилен 12-ъгълник, описан около окръжност, чийто радиус е 80cm.
Решение (Чертеж 233). Ако страната на 12-ъгълника еAB, то като съединим краищата му с центъраO, получаваме равнобедрен триъгълник, ъгълът при върха на който е 360°/12=30°.
НачертавайкиODперпендикулярно наAB, имаме правоъгълен триъгълникAOD, в който катетътAD =?AB(защо?).