kornil - fub семестър 1 - p14

Системи от линейни уравнения с произволен брой уравнения и неизвестни

При решаване на системиmот линейни уравнения сnнеизвестни, заедно със системната матрица

ние също ще разгледаме матрицата, получена отAчрез добавяне на колона от свободни членове. Такава матрица се наричаразширенасистемна матрица и се обозначава

Метод на пълно елиминиране (CMI) или метод на Йордан-Гаус

Методът на пълното елиминиране е универсален метод за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения с произволно съотношение на броя на неизвестните и броя на уравненията. Тя се основава на елементарни трансформации на системи от уравнения или, което е същото, на елементарни трансформации на техните матрици. Последователността отелементарни трансформациисвежда оригиналната система от уравнения до еквивалентна (еквивалентна), тоест имаща същите решения като оригиналната система.

Идеята на методае да трансформира системата в еквивалентна, така че част от неизвестните (те са избрани произволно) да отговарят на изискването: тя се съхранява само в единственото уравнение на системата. Тези неизвестни се наричатосновни.В общото решение на системата основните неизвестни ще бъдат изразени чрез всички други неизвестни, които се наричатсвободни.

Целта на трансформациите на системата от уравнения е да се запази произволно избраното неизвестно само в едно от уравненията и да се изключи това неизвестно от всички останали уравнения. Обърнете внимание, че всяко уравнение на системата съответства на ред в разширената матрица на системата

;

Следователно всяко действие върху редовете на матрицата

съответства на същото действие върхусистемни уравнения. Имайте предвид, че подобни елементарни трансформации са възможни и с матрични колони, но те не трябва да се правят при прилагане на MPI, т.к. действията с колони са свързани с преномериране на неизвестни и са практически неудобни. В MPIработете само с редове от разширената матрица.

Достатъчно е да използвате два видаелементарни трансформации:

умножение (деление) на уравнението на системата (редове от разширената матрица на системата) с всяко ненулево число;

събиране (изваждане) към едно уравнение на системата (ред от матрицата) на другото й уравнение (ред), умножено по произволно число.

Ако тези трансформации в системата от уравнения образуват поне едно уравнение от вида:0x1+0x2++0xn=b; (b0), което съответства на ред в матрицата на системата от вида0 00b, тогава систематае непоследователна, тъй като това уравнение не е изпълнено за никакви стойности на неизвестните

Ако в системата се формира уравнение от вида0x1+0x2++0xn=0, което съответства на нулевия ред в матрицата, то такова уравнение може да бъде отхвърлено, тъй като то е изпълнено за всякакви стойности на неизвестните. Очевидно, ако се образуват няколко уравнения (линии) с пропорционални коефициенти, тогава може да се остави само едно от тях, а останалите трябва да се изхвърлят.

Трансформациите по метода на пълното елиминиране (CLI) означават, че във всеки ред от матрицата на системата се избира ненулев основен коефициент (който стои съответно наосновно неизвестно) и след това с помощта на елементарни трансформации се постига, че в останалите редове на матрицата с основно неизвестно има нулеви коефициенти. Такива действияводят до факта, че избраното основно неизвестно остава само в едно от уравненията на системата (съответно основният му коефициент е на един ред от матрицата), а от останалите се „изключва“. За удобство на изчисленията, ако избраният основен коефициент е

, целият ред трябва да бъде разделен на този коефициент. Тогава базисният коефициент ще бъде 1 и накрая всяка неизвестна база в матрицата ще съответства на колона, състояща се от една 1 и останалите нули.

Ако във всеки ред на матрицата вече е избран основният коефициент и са направени елементарни трансформации, изключващи съответните неизвестни в останалите редове, то трансформацията на матрицата според MPI е завършена.

Нека разгледаме решението на системи от линейни алгебрични уравнения на MPI на примери. В тях матриците на системите за решение са записани в таблици. Стрелките отдясно на таблиците показват действия (елементарни трансформации) върху редовете на матрицата. Началото на стрелката винаги е на линията с базовата ставка, а краят й сочи към линията, към която се добавя линията с основната ставка, умножена по числото до стрелката. Очевидно числото е избрано така, че при добавяне под (над) основния коефициент да се получат нули.

ПРИМЕР 1.