Криволинейни интеграли
Определение 23.1. Векторно поле е област от пространство или равнина, всяка точка от която M е свързана с вектор Ф.
Проекции P; Q и R на вектора Ф върху координатните оси са функции на координатите на точка M:
P = P (x; y; z); Q = Q(x; y; z); R = R(x; y; z):
Ф = Ф(M) = P (x; y; z)i + Q(x; y; z)j + R(x; y; z)k:
По-специално, ако полето е дадено на равнината, тогава
Ф = P (x; y)i + Q(x; y)j:
Гравитационно поле
Като пример за векторно поле, разгледайте полето на гравитационните сили. Ако масата m е поставена в началото; тогава тази маса създава поле от гравитационни сили, тъй като във всяка точка М от пространството върху единица маса, поставена в нея, се въздейства сила, равна по големина, според
Закон на Нютон, jrj 2 и насочен към началото.
Тук r = OM; и гравитационната константа. следователно
= jrj единичен вектор.
Нека x; y; z координати на точка М: Тогава
( p x 2 + y 2 + z 2 ) 3
( p x 2 + y 2 + z 2 ) 3
mz ( p x 2 + y 2 + z 2 ) 3
Задача за работа
Много проблеми във физиката водят до много важно обобщение на концепцията за определен интеграл до криволинейния интеграл.
Помислете например за следния проблем. По някаква крива L; разположени в полето на силите F = P (x; y; z)i + Q(x; y; z)j + R(x; y; z)k; някаква маса (материална точка) се движи. Необходимо е да се определи работата на силите на полето при преместване на тази маса от точка А до точка Б:
От физиката е известно, че ако материална точка под действието на постоянна сила F извърши праволинейно движение, изразено чрез вектора l, то работата E на силата F е равна на скаларното произведение на силата F и l:
Тъй като в общия случай силата F варира както по големина, така и по инпосока и тъй като движението по кривата L не е праволинейно, формула (23.1) не може да се приложи директно. Затова ще продължим по следния начин. Нека разделим кривата L в посока от точка А към точка В на n ¾малки¿ дъги, като разделим точките A 1 ; A2; : : : ; A n 1 . Отбелязваме началната точка A на кривата L като A 0 , а крайната точка B като A n . Нека x i ; y i ; z i координати на точка A i (i = 0; 1; 2; : : : ; n). Нека се вместим в кривата
L е прекъсната линия, свързваща съседни разделителни точки с права линия
сегменти. На всяка дъга A i 1 A i се избира произволна точка M i с координати i ; аз ; аз:
Нека заменим кривата L с начупена линия A 0 A 1 A 2 : : : A n ; и сила F; която, най-общо казано, варира както по големина, така и по посока от точка до точка, ще считаме за постоянна
всяко звено A i 1 A i е скъсано и е равно на дадената сила в
точка M i от дъгата A i 1 A i :
F(Mi) = P(Mi)i + Q(Mi)j + R(Mi)k;
F(M i ) = P ( i ; i ; i )i + Q( i ; i ; i )j + R( i ; i ; i )k:
Тогава работата на силата по дъгата A i 1 A i ще бъде приблизително равна на работата на силата F(M i ) по протежение на връзката A i 1 A i ; което съгласно формула (23.1) е равно на скаларното произведение на силата F(M i ) и вектора на преместване A i 1 A i : F(M i ) A i 1 A i :
Проекциите на вектора A i 1 A i върху координатните оси са съответно
x i = x i x i 1; y i = y i y i 1; z i = z i z i 1:
Изразявайки скаларното произведение F(M i ) A i 1 A i в координатна форма, получаваме
= P ( i ; i ; i ) x i + Q( i ; i ; i ) y i + R( i ; i ; i ) z i :
Обобщавайки тези изрази за всички връзки на полилинията, намираме приблизителната стойност на работата E по кривата L:
E F(M i ) A i 1 A i =
= P ( i ; i ; i ) x i + Q( i ; i ; i ) y i + R( i ; i ; i ) z i :
За точнистойност на труд Д, приемаме лимита на полученото
суми, клонящи дължините на дъгите A i 1 A i към нула:
E = lim P (i; i; i) x i +
+ Q( i ; i ; i ) y i + R( i ; i ; i ) z i :
Така изчисляването на работата ни доведе до намирането на границата на определен вид сума. Намирането на границите на сумите от разглеждания тип се среща и при други въпроси, които не са свързани с изчисляването на работата. Нека проучим свойствата на границите на такива суми в общ вид, независимо от един или друг физически проблем.
23.1. Определение на криволинейния интеграл на
Нека в някакъв регион на триизмерното пространство
непрекъсната крива L (дъга AB) и
Ф = P (x; y; z)i + Q(x; y; z)j + R(x; y; z)k;
определена във всяка точка на кривата L:
Нека направим следното:
1. Разделете дъгата AB с точки A 1 ; A2; : : : ; A n 1 в on-
правило от точка A до точка B върху n дъги: A 0 A 1 , A 1 A 2 ,
. . . , A n 1 A n . Началото на дъгата A означихме с A 0 ; и края на B през A n : Нека x i ; y i ; z i координати на точка A i
2. На всяка дъга A i 1 A i се избира произволна точка M i с координати i ; аз ; i : Съставете точковия продукт на вектора
Ф = P (x; y; z)i + Q(x; y; z)j + R(x; y; z)k;
изчислено в точка M i ; на вектор
A i 1 A i = x i i + y i j + z i k:
Ф (M i ) A i 1 A i =
= P ( i ; i ; i ) x i + Q( i ; i ; i ) y i + R( i ; i ; i ) z i :
3. Съставете сумата от всички такива продукти:
Ф(M i ) A i 1 A i =
= P ( i ; i ; i ) x i + Q( i ; i ; i ) y i + R( i ; i ; i ) z i :
Тази сума се нарича интегрална сума.
4. Ако има ограничение на интегралната сума при
при условие, че дължините на всички дъги A i 1 A i клонят към нула,
независим отметод за разделяне на дъгата AB на дъги
A i 1 A i , нито от избор на точка M i на всяка от тях; тогава тази граница се нарича криволинеен интеграл на вектора
функции Ф = P (x; y; z)i + Q(x; y; z)j + R(x; y; z)k по
крива L (или по дъгата AB) в посока от A към B и означ
P (x; y; z) dx + Q(x; y; z) dy + R(x; y; z) dz;
P (x; y; z) dx + Q(x; y; z) dy + R(x; y; z) dz:
Тъй като интегрантът P dx + Q dy + R dz е скаларното произведение на вектора Ф = P i + Qj + Rk и диференциала dr = dxi + dyj + dzk r на променливата точка на кривата L; тогава криволинейният интеграл otF = P i + Qj + Rk може да бъде записан като
следната векторна форма: L Ф dr. Криволинейна
интегралът на често се нарича криволинеен интеграл върху координатите или криволинеен интеграл от втори род.
Дефиницията на криволинейния интеграл показва, че работата на силата F по дъгата L е криволинейният интеграл на силата F по тази дъга, т.е.
E = P dx + Q dy + R dz;
където P; Проекции на Q и R сила върху координатните оси.
Точно както в случая с определен интеграл, има теорема за съществуването на криволинеен интеграл, която приемаме без доказателство.
Теорема 23.1 (съществуване на криволинеен интеграл). Нека кривата L е дадена в параметрична форма от уравненията
x = x(t); y = y(t); z = z(t); 6t6;
където x(t); y(t); z(t) са функции с непрекъснати производни от първи ред върху [ ; ]. Тогава за всяка векторна функция Ф = P (x; y; z)i + Q(x; y; z)j + R(x; y; z)k, непрекъсната по тази крива, съществува криволинеен интеграл върху кривата L.
Изчисляване на криволинейния интеграл на
Нека покажем, че изчисляването на криволинейния интеграл
се свежда до изчисляване на определен интеграл.
Нека дъгата L = AB е дадена от параметричните уравнения
където функциите x(t); y(t); z(t) са непрекъснати и имат
прекъснати производни от първи ред. Нека се преструваме, че
началната точка A на дъгата AB съответства на стойността на параметъра t = ; и в крайната точка B стойността t = и при промяна на параметъра t от към променливата точка M(x; y; z) описва дъга в посока от A към B: Освен това, нека P (x; y; z) е непрекъсната функция, дефинирана по кривата L: Тъй като P (x; y; z) е непрекъсната функция на променливите x; y; z; a x; y; z са непрекъснати функции на t; тогава комплексната функция P (x(t); y(t); z(t)) е непрекъсната функция на t на сегмента 6 t 6 : Тъй като кривата L и функцията P (x; y; z) удовлетворяват условията на теоремата за съществуване на криволинейния интеграл, има
криволинеен интеграл P (x; y; z) dx и следователно
има ограничение на интегралната сума
P (i; i; i) x i;
което не зависи от метода за разделяне на дъгата L на части, нито от избора на междинни точки M i ( i ; i ; i ):
Нека разделим отсечката [ ; ] на n части с точки t 1 ; t2; : : : ; t n 1; в допълнение, ние означаваме t 0 = ; t n = : Тези стойности на параметъра t съответстват на точките на дъгата L:
A = A0; A 1 ; A2; : : : ; A n 1; A n = B;
със следните координати:
x0 = x(t0); y0 = y(t0); z0 = z(t0); x 1 = x(t 1 ); y 1 = y(t 1 ); z 1 = z(t 1 );
x n 1 = x(t n 1 ); y n 1 = y(t n 1 ); z n 1 = z(t n 1); x n = x(t n); yn = y(tn); zn = z(tn):
В този случай точките A 1 ; A2; : : : ; A n 1 , разделяйки дъгата, са разположени върху нея последователно в посока от точка А до точка Б:
При преместване от точка A i 1 към точка A i, абсцисата x получава нарастване x i = x i x i 1 = x(t i ) x(t i 1 ): Приложете към разликата x(t i ) x(t i 1 )Теорема за крайното нарастване на Лагранж:
x i = x(t i) x(t i 1) = x 0 (i) t i;
където t i = t i t i 1 и t i 1 i i. Стойност на параметъра
t = i съответства на точка M i на кривата с координати
i = x(i); i = y(i); i = z(i); лежащ върху дъгата A i 1 A i : Компилирайте за избраното разделяне на дъгата L на части и за точките M i, избрани над интегралната сума:
P ( i ; i ; i ) x i = P x ( i ); y(i); z(i) x 0 (i) t i;
и преминават към границата, при условие че диаметърът на преградата на сегмента [ ; ] клони към нула. В този случай дължините на дъгите
A i 1 A i клонят към нула и имаме, съгласно дефиницията на криволинейния интеграл,