Лекции по алгебра
Уникалността на разширението следва от факта, че Pr е множеството от всички вектори, анихилирани от ПОЛИНОМА gi.
Твърдението е напълно доказано.
Предложение 8 веднага предполага валидността на следната теорема:
Теорема 9. Пространството, в което действа операторът, се разлага на пряка сума от първични подпространства.
Достатъчно е да приложим предложение 8 към каноничното разлагане g- = φ^i. q>™k минимален полином g в несводими множители.
Подпространството, състоящо се от всички вектори, анихилирани от полинома φ η, се нарича пълно първично подпространство,
съответстващ на основния делител φ^; полином g.
8. Разлагане на първично пространство в пряка сума от циклични първични подпространства.
Теорема 10. Едно първично пространство може да бъде представено като пряка сума от циклични първични подпространства.
Доказателство. Нека приложим метода на математическата индукция върху размерността на пространството. Първичните циклични пространства могат да бъдат взети като основа за индукция. Нека направим индуктивното предположение, че за първичните пространства,
ЛИНЕЙНИ ОПЕРАТОРИ ВЪВ ВЕКТОРНО ПРОСТРАНСТВО
чиято размерност е по-малка от размерността на разглежданото пространство 5, теоремата е вярна.
Нека минималният полином е ft. Тогава всички елементи на пространството се унищожават от делителите на този полином, т.е., степените на φ с експоненти, които не надвишават m. В този случай има елемент, който се анихилира от полинома ft и не се анихилира от полинома ft_1, в противен случай всички вектори биха се анихилирали от полинома ft_1, което противоречи на минималността на полинома ft. Нека Ui е такъв вектор и P1 е цикличното подпространство, генерирано от вектора u\. Ако Pi = 5, тогава теоремата за пространството Sдоказано. Нека Pi ∆ 5. Да разгледаме факторпространството SfPi. Неговите вектори очевидно са анихилирани от полинома ft, така че 5/P1 е първично и има размерност по-малка от 5. Следователно индуктивното предположение може да се приложи към 5/Pi. Позволявам
SfPi = P2®. Є P4 (тиретата над буквите означават, както обикновено, че се разглеждат обектите, съставляващи частното пространство), d2 са векторите от S/Pb, генериращи P2, Pk и ft2, φ"1* са анихилаторите на векторите d2, . Ясно е, че nit ⩽ m за всички /. ft2, ft*.
Наистина, нека "2 е някакъв вектор от W2. След това f^jSP, така че (pmu2 = F(si)W1, където F е някакъв полином. Но ft анулира всички вектори в 5, така че Предишен 129 130 131 132 133 134 .. 168 >> Следващ
Климатици Mitsubishi Electric на ниски цени! Гаранция. Доставка