Линейни множества
Непразно подмножество M(Ē) на пространството E n се нарича (реално)линейно пространство, ако удовлетворява следните две условия:
1) Ако векторитеx иy принадлежат на M, тогава x+y също принадлежи на M.
2) Ако произволен вектор x принадлежи на M, то lx също принадлежи на M за всяка реална стойност на числото l.
От 2) се вижда, че ако xОM, то -xОM. Тогава от 1) следва, че 0=x+(-x) също принадлежи на M. Ако извършим изместване, дефинирано от фиксиран вектор x 0 на всички вектори на непразно подпространство M на пространството E n , тогава получаваме подмножество, нареченолинейно многообразие (афинно подпространство) на пространството E n . Това не е линейно пространство, тъй като не съдържа 0. Правата в E n, минаваща през началото, е едномерно пространство на пространството E n . Ако изместим тази права линия, тогава ще получим линейно многообразие. Едно и също линейно многообразие може да се получи в резултат на премествания на пространството M с различни вектори.
Ако максималният брой линейно независими вектори, които могат да бъдат намерени в M е r, тогава се казва, че M еr-измерно подпространство. Самото пространство E n може да се разглежда като n-мерно пространство.
Хиперравнината в E n е набор от точкиx, удовлетворяващи уравнението
Обикновено префиксътхиперсе използва за обозначаване на пространства, които имат повече от три измерения.
Хиперравнината дефинира двезатворени полупространства (фиг. 2.5)
Фиг.2.4. Пространство и линейно разнообразие.
Векторът a, наречен нормал към хиперравнината Hab, е ортогонален на нея и насочен към полупространството H + ab (фиг. 2.5). хиперравнинаNab и съответните полупространства могат да бъдат записани по отношение на някаква фиксирана точка Înab. За всяко реално число b, уравнението ,x>=b определя линейно многообразие. Ако е даден векторx0 ОE n така, че 0 >=b, тогава линейното многообразие, определено от уравнението =bможе да се разглежда като изместване на Нab сx0.
Като пример разгледайте хиперравнината H=x1,x2,x3,x4)x1+x2-x3+2x4=4>. Нормалната към него е векторът a=(1,1,-1,2) T . Същата хиперравнина може да бъде написана с помощта на всяка друга точка от Hab, например с помощта на =(0,6,0,-1) T . В този случай Hab=x1,x2,x3,x4)x1+(x2-6)-x3+2(x4+1)=0>.
Всяка хиперравнина в E n може да се дефинира като набор от решения на уравнение (2.1) чрез подходящ избор на вектора a и числото b.
Всеки ред в E n може да се дефинира като
подходящо, избирайки вектори a и c от E n . Ако в (2.2) числото l е ограничено отгоре или отдолу, тогава получаваме лъч. Ако l е ограничено отгоре и отдолу, тогава множеството (2.2) определя сегмент.
Отсечката, свързваща две дадени точкиx1,x2 в E n, е набор от такива точки, чиито координатиxj са свързани с координатитеx1 иx2 чрез отношения от вида
Конкретният избор на l определя позицията наxвърху сегмента (за l=1 точкатаxсъвпада сx1, за l=0 - сx2, за 0