Линейно диофантиново уравнение и 4 начина за решаването му
Секции: Математика
Правило 1. Ако c не се дели на d, тогава уравнението ax + vy = c няма решения в цели числа. N.O.D. (a, c) = d.
Правило 2. За да намерите решение на уравнението ax + wy = c за взаимнопрости a и b, първо трябва да намерите решение (Xo; yo) на уравнението ax + wy = 1; числата CXo , Suo представляват решението на уравнението ax + vy = c.
Решете в цели числа (x, y) уравнението
Първи начин.Намиране на конкретно решение чрез метода за избор и записване на общото решение.
Знаем, че ако N.O.D. (a; c) = 1, т.е. и и във взаимно прости числа, тогава уравнение (1)
има решение в цели числа x и y. N.O.D.(5;8) =1. Използвайки метода за избор, намираме конкретно решение: Ho = 7; йо =2.
И така, двойка числа (7;2) е конкретно решение на уравнение (1).
Това означава, че равенството е изпълнено: 5 x 7 - 8 x 2 = 19 ... (2)
Въпрос: Как, като имаме едно решение, да запишем всички останали решения?
Извадете от уравнение (1) равенството (2) и получете: 5(x -7) - 8(y - 2) =0.
Следователно x - 7 = . От полученото равенство се вижда, че числото (x - 7) ще бъде цяло число тогава и само ако (y - 2) се дели на 5, т.е. y - 2 = 5n, където n е някакво цяло число. И така, y = 2 + 5n, x = 7 + 8n, където n е Z.
По този начин всички решения на първоначалното уравнение могат да бъдат записани в следната форма:
nZ.
Вторият начин. Решение на уравнението спрямо едно неизвестно.
Ние решаваме това уравнение по отношение на това на неизвестните, за които най-малкият (по модул) коефициент. 5x - 8y \u003d 19 x \u003d.
Остатък при деление на 5: 0,1,2,3,4. Заменете тези числа с y.
Ако y = 0, тогава x = =.
Ако y \u003d 1, тогава x \u003d \u003d.
Ако y \u003d 2, тогава x \u003d \u003d \u003d 7 Z.
Ако y \u003d 3, тогава x \u003d \u003d.
Ако y = 4, тогава x = =.
И така, конкретно решение е двойката (7;2).
Тогава общото решение е: n Z.
Третият начин. Универсален начин за намиране на определено решение.
Използваме алгоритъма на Евклид за решаване. Знаем, че за всеки две естествени числа a, b, такива че H.O.D. (a, c) = 1, съществуват цели числа x, y, такива че ax + y = 1.
1. Първо решете уравнението 5m - 8n = 1, като използвате алгоритъма на Евклид.
2. След това намираме конкретно решение на уравнение (1) съгласно правило 2.
3. Нека напишем общото решение на това уравнение (1).
1. Намерете представянето: 1 = 5m – 8n. За целта използваме алгоритъма на Евклид.
8 = 5 1 + 3.
5 = 3
3 = 2.
От това равенство изразяваме 1. 1 \u003d 3 - 2 \u003d 3 - (5 - 3) \u003d
= 3 - 5 = 3 = (8 - 5 - 5 82 -5
= 5(-2). И така, m = -3, n = -2.
2. Частично решение на уравнение (1): Xo = 19m; йо \u003d 19n.
От тук получаваме: Xo \u003d 19; йо =19.
Двойка (-57; -38) е конкретно решение (1).
3. Общо решение на уравнение (1): n Z.
Четвърти начин. Геометричен.
1. Решаваме уравнението 5x - 8y \u003d 1 геометрично.
2. Нека напишем конкретно решение на уравнение (1).
3. Нека напишем общото решение на това уравнение (1).
Нека положим върху кръга последователно една след друга равни дъги, които съставят
част от пълен кръг. В 8 стъпки получаваме всички върхове на правилен осмоъгълник, вписан в окръжност. В този случай ще направим 5 пълни завъртания.
На 5-та стъпка получихме връх, съседен на първоначалния, като в същото време направихме 3 пълни завъртания и също преминахме -та част от окръжността, така че x = y + .
И така, Xo = 5, yo = 3 е конкретно решение на уравнението 5x - 8y = 1.
2. Частично решение на уравнение (1): Xo = 19 yo =19
3. Общо решение на уравнение (1): n Z.