ЛЛевкович-Маслюк, А. Переберин Схема на повдигане, мултивълни
Спомнете си точните условия за възстановяване за два чифта биортогонални филтри. Разгледайте две двойки филтри:(h, g)и . Искаме да разложим с помощта на навиване с и да възстановим с помощта на(h,g). По отношение на z-трансформацията, разлагането на високи и ниски честоти с децимация наполовина има формата: Записвайки процеса на възстановяване в подобна форма, използвайки двойката(h, g)и приравнявайки резултата към X(z), получаваме:
Методът на повдигане ви позволява да:
Създайте нови филтри, които отговарят на (1) от съществуващите.
Извършване на вълнова трансформация по-бързо чрез разлагане на елементарни повдигащи стъпки.
Стъпките на повдигане използват разделяне на сигнала на два компонента - с четен и нечетен индекс. Следователно тази техника е естествено формулирана по отношение на многофазни матрици (многофазна матрица). Първо въвеждаме модулационната матрица: (2) M(z) се дефинира по подобен начин. Условие (1) е еквивалентно на (1')
Предполагаме, че всички филтри съдържат краен брой ненулеви коефициенти, т.е. изрази като H(z) са полиноми на Лоран (може да съдържат както положителни, така и отрицателни степени на z); за краткост ще ги наричаме просто полиноми. Нека въведем четните и нечетните части на нашите полиноми: Тогава Многофазната матрица има формата: Тя е свързана с модулационната матрица по следния начин: Замествайки този израз в (1’), получаваме точното условие за възстановяване в следната форма: (3) Приемайки, че детерминантата на многофазната матрица е 1 (това винаги може да се постигне чрез умножаване по подходящ моном G(z)), тогава от (3) получаваме обичайния израз, свързващ главния и двойния филтър: Полифазната матрица ви позволява да напишете вълнова трансформация чрез действието на компонентите на филтъра върху компонентите на сигнала. Например стъпката на разлагане изглежда така: / Да предположим, че има двойка филтри H(z), G(z), така че det(P(z))=1. Такава двойка се нарича допълваща. Оказва се, че е лесно да се опишат всички крайни филтри G1(z), които образуват комплементарна двойка с фиксиран филтър H(z). А именно, двойката H(z), G1(z) е комплементарна тогава и само ако: / където S е произволен полином. Тази трансформация на чифт филтри се нарича повдигане. Това е еквивалентно на трансформацията на многофазната матрица / Използвайки евклидовия алгоритъм за изчисляване на най-големия общ делител на полиноми, можем да получим следното разлагане на многофазни матрици (първични и двойни):
Стъпки за директно преобразуване:
Стъпки за обратно преобразуване:
Както беше отбелязано по-горе, повдигането позволява не само да се анализират съществуващи филтри, но и да се изграждат нови, тоест да се проектират нови схеми за вълнова трансформация, включително тези, които са или много трудни, или невъзможни за получаване по друг начин (по-специално трансформации, чиито основни функции не са измествания и свивания на една функция). Идеологията на „прогнозиране-усъвършенстване“ в този смисъл е нещо като итеративен метод за конструиране на филтри: като се вземе набор от „лоши“ филтри като първоначално приближение, човек може последователно да приложи повдигащи стъпки към тези филтри, за да получи нови филтри с определени свойства. Освен това, ако оригиналните филтри удовлетворяват (1), тогава условие (1) няма да бъде нарушено на всяка стъпка от повдигането, т.е. всяка трансформация, конструирана по този начин, непременно гарантира точно възстановяване.
Като първоначално приближение обикновено се приемат филтри, които избират съответно четните и нечетните компоненти на оригиналния сигнал. От гледна точка на уейвлетите това означава, че само подмножество от мащабиращите функции става базата на уейвлет. Такива вълни се наричат мързеливи (мързеливи вълни), те са практически неприложими за каквато и да е задоволителна обработка на сигнали, но се използват активно като "заготовка" за конструиранеструктури с различна сложност.
Нотацията за повдигане има друго полезно свойство: ако компонентите на сигнала са цели числа, тогава всички междинни резултати от стъпките за повдигане могат да бъдат направени цели числа. В същото време призивът остава точен, т.к е същите стъпки в обратен ред. По този начин всеки VI може да бъде направен да превежда цели числа в цели числа. Стъпката на цяло число (цяло число към цяло число) VI се записва чрез повдигане, както следва: (6)
Оказва се, че целочисленият VI може да се използва при компресиране на изображения без загуби, въпреки че има само предварителни резултати, показващи, че след целочисления VI използването на конвенционални методи за кодиране на знаци става по-ефективно.
Има и нелинейна версия на прецизиране на прогнозата. Факт е, че когато се работи в близост до резки спадове, всички филтри, получени от съображения за интерполация, дават лоши резултати както при прогнозиране, така и при прецизиране. Нелинейността възниква при тези методи, при които сигналът е предварително тестван за локални скокове и прогнозата се прави в секции, които не съдържат скокове. Този вид адаптиране към сигнал е добре познат в изчислителната физика и в приложение към многомащабно разлагане на сигнали, очевидно е приложено за първи път от A. Harten в рамките на неговата обща теория за многомащабно представяне (виж [1]).
Мултивейвлетите са векторно-оценено обобщение на вълните. Те са предназначени да разлагат "многоканални" сигнали, които имат не един, а няколко компонента. Въпреки това скаларният сигнал може също да бъде приведен в тази форма (чрез преминаване към четни и нечетни компоненти, например). Мултивейвлетите се дефинират от точно същите (външно!) премащабиращи уравнения като обикновените вълнички.
Техенпривлекателното е, че те: Като обикновените вълни, те генерират MA. По-силно локализиран в пространството, което може да бъде удобно в редица задачи (например в математическата физика). Приемете алгоритъм за бърза трансформация (алгоритъмът на Mull с матрични коефициенти е буквално прехвърлен в този случай)
Оказа се обаче, че е по-трудно да се изградят мултивейвлети, отколкото обикновените вълни. Въпросът е, че скалиращите уравнения имат матрични коефициенти, които не комутират един с друг. Следователно намирането на подходящ набор от коефициенти, който дава плавни решения на уравнението за премащабиране, е доста трудно. Първият пример за ортогонални и непрекъснати мултивълни е получен от Джеронимо, Хардин и Масопуст (GHM). Функциите за мащабиране и уейвлетите в техния пример бяха частично самоподобни и примерът беше конструиран с помощта на методи от теорията на IFS (итеративни функционални системи), генериращи, най-общо казано, фрактални функции. GHM мултивълни и мащабиращи функции са показани на фигури 1 и 2:
