Логаритмични неравенства, примери за решения, формули, урок и презентация по алгебра за 11 клас

Урок и презентация на тема: "Логаритмични неравенства. Примери за решения"

Логаритмични неравенства, запознаване

Момчета, знаем как да решаваме логаритмични уравнения, днес ще научим как да решаваме логаритмични неравенства. Те изглеждат така: $\log_a>\log_a$, където $a>0$, $a≠1$, $f(x)>0$, $g(x)>0$.

Нека трансформираме нашето неравенство и да разберем как да го решим. $\log_a>\log_a$. $\log_a-\log_a>0$. $\frac>>>0$. Нека въведем замяна: $t=\frac$. $\log_a>0$.

В нашия случай не е необходимо да изграждаме чертеж с пропуски, очевидно $x>1$. Отговор: $x>1$.

Пример. Решете неравенството: $\log_>≤-2$. Решение. Нека работим с дясната страна на неравенството, представяме числото -2 като логаритъм с основа една пета. $-2=\log_>)>^=\log_>$. И така: $\log_>≤\log_>$. Основата на логаритъма е по-малка от 1, преминаваме към неравенство с противоположно значение: $\begin (25+5x-x^2>0;\\ 25+5x-x^2≥25.\end$ Нека обърнем внимание на факта, че не можем да решим първото неравенство на системата, тъй като имаме същите изрази от лявата страна, както неравенства, така и положителни числа отдясно. Ако $A≥25$, тогава е очевидно, че $A>0$. Решете неравенството $25+5x-x^2≥25$. $5x-x^2≥0$. $x^2-5x≤0$. $x(x-5)≤0$. Постройте интервал: Отговор: $xϵ[ 0;5]$.

Пример. Решете неравенството: $\log_2+\log_2≥1+\log_2$. Решение. Нека разгледаме лявата страна на неравенството: $\log_2+\log_2=\log_2=\log_2$. Нека разгледаме дясната страна на неравенството: $1+\log_2=\log_2+\log_2=log_2$. Оригиналното неравенство е еквивалентно на неравенството: $\log_2≥log_2$. Основата на логаритъма е по-голяма от 1, тогава можем да отидем до неравенството на същотознак и трябва да решим системата: $\begin (7-x>0;\\ x>0;\\ 7x-x^2≥6.\end$ $\begin x 0;\\ 7x-x^2-6≥0.\end$ $\begin x 0;\\ x^2-7x+6≤0.\end$ $\begin x 0;\\ ( x-6)(x- 1)≤0.\end$ Намерете графично решението: Отговор: $xϵ[1;6]$.

Пример. Решете неравенството: $\lg^2-15\lg+2≤0$. Решение. Нека разгледаме отблизо израза: $\lg^2$. $\lg^2=^2=^2=4\lg^2$. Нека използваме метода за промяна на променливите. Нека $y=lg$. Нашето неравенство ще приеме формата: $4y^2-15y+2≤0$. $(4y+1)(y-4)≤0$. Решението на нашето неравенство ще бъде интервалът: -$\frac≤y≤4$. Въведете обратното заместване: -$\frac≤\lg≤4$. $^>≤x≤^4$. $\frac>≤x≤^4$. Отговор: $\frac>≤x≤^4$.

---