Логистични криви или сигмоиди
„Всеки експоненциален растеж в даден момент се забавя и спира, иначе би станал абсурден.
Например данни от електрическата индустрия показват, че като се започне от един човек и от 1750 г., времето на експериментитеB. Франклин с електрическите разряди - експоненциалният растеж ще ни доведе до цифра от 200 хиляди души, заети в индустрията през 1925 г., и до милион през 1955 г.; ако растежът продължи със същото темпо, тогава до 1990цялото от работещото население на страната ще бъде заето само в тази индустрия. Но в определен момент неизбежно се достига до насищане и растежът се забавя.
Приизмерването на растежа на знанието, както и в други области, където протичат подобни процеси, въпросът е как да се определи това състояние на насищане и да се оцени периодът на неговото начало.
Експоненциалният модел, описан по-горе, който предполага, че е достигнат определен таван, е сигмоидна илиS-крива, в която скоростите на промяна под и над нейната среда често са идеално симетрични. Тъй като случаят е такъв, лесно е да се прогнозира, че скоростта на промяна над средната точка ще съвпадне със скоростта под нея, след което най-накрая ще изчезне. Именно красотата на тази крива изкушава много статистици да я смятат за "философски камък" за разбиране на човешкото поведение.
През 1838 г. колегаA. Quetelet математикP.F. Wehrhalst се опита да придаде на това общо заключение форма, която би направила възможно превръщането на малтусианската крива, която изразява геометрична прогресия, вS-образна, или, както той я нарече, логистична крива, която би изразила истинския "закон за населението" и би показала границата, отвъд която ще бъде неговият растежмалко вероятно.
P.F. Верхулст приема редица предположения, а именно: темповете на растеж не могат да бъдат постоянни; те трябва да са в линейна връзка с наличното население в момента; в един момент растежът се забавя, с други думи настъпва насищане и това забавяне е толкова по-изразено, колкото по-високо е населението. По този начин факторите на растеж и инхибиране са взаимно пропорционални, поради което благодарение на "симетрията" на кривата е възможно да се предвиди и предскаже бъдещето.
През 1924 г. биологът и математикът Р. Pearl , след като се е запознал с произведенията на P.F. Верхалст, формулира закона на Верхалст-Пърл. В опит да получиS-кривата на растежа на населението, той установи, че темпът на растеж зависи от населението в определен момент и от наличието на "неизползвани резерви за поддържане на живота на населението", (основно) под формата на необработена земя.
По-раноR. Пърл [3] формулира уравнения, описващи растежа на популацията на плодовата муха в затворена среда и през 1925 г., въз основа на подобни уравнения, прогнозира, че населението на Съединените щати през 1950 г. трябва да бъде 148,7 милиона души, а през 1960 г. - 159,2 милиона за 25 милиона. РейтингR. Перлата на горната граница на населението на Съединените щати от 197 милиона души вече е надмината през нашето десетилетие и до 2000 г. населението на страната може да достигне 275 милиона души.
Ключовият проблем с анализа на S-кривата е, че той се прилага само или към „затворена система“, или към такава, базирана на фиксирани ресурси, подчинявайки се на физическите закони или приемайки някоибезусловни предположения. С други думи, "условията на тавана" причиняват изравняване на кривата.
Тъй като насищането трябва да настъпи в даден момент, L. Raidenur, подобно на P.F. Verhulst предложи диференциално уравнение за определяне на скоростта на забавяне, което се получава, когато кривата започне да се доближава до абсолютната горна граница.
Въпреки това, едно предимство на този метод остава във всеки случай: използването на математически език често прави възможно откриването на идентични основи за много различни явления. Едва ли някой вярва, че женитбата и раждането на деца са явления от същия вид като подмяната на основното оборудване в предприятието, но въпреки това английският икономист от Кеймбридж Р. Стоун открива точна математическа аналогия между тях. Той открива същото поразително сходство между епидемиите и търсенето на образование. При начертаване на крива, представяща търсенето на образование, е очевидна неприемливостта на обикновена екстраполация на предишни тенденции, тъй като, както видяхме, в един момент системата „експлодира“ и има рязка промяна в тенденцията. (Така, ако проектираме търсенето на университетско образование на американците въз основа на тенденциите от 50-те години, се оказва, че само до 1975 г. 40 процента от хората от възрастовата група от 18 до 22 години трябва да са учили в колежи; междувременно всъщност тази цифра е достигната още през 1965 г.) Р. Стоун смята, че нарастването на търсенето на висше образование може да се разглежда като „епидемичен процес“: „При на всеки етап броят на хората, заразени или решили да влязат в университет, зависи отчасти от броя на тези, които вече са били заразени преди или вече са влезли в университет.
Но с течение на времето такава "инфекция" се разпространява все по-широко и по-широко, докато всички,податливите към него няма да бъдат заразени. Този модел се описва от диференциално уравнение, чието решение също има формата наS-образна или логистична крива.
Много трудни проблеми възникват дори когато анализът на логистичната крива се използва не за правене на реални прогнози, а като модел, който подчертава вече известна линия на тенденция.