Методът на нодалния потенциал е
Методът на възловите потенциалие метод за изчисляване на електрически вериги чрез записване на система от линейни алгебрични уравнения, в които потенциалите във възлите на веригата са неизвестни. В резултат на прилагане на метода се определят потенциалите във всички възли на веригата, както и, ако е необходимо, токовете във всички клонове.
Съдържание
Много често необходима стъпка при решаването на различни проблеми в електротехниката и електрониката еизчисляването на електрическа верига. Този термин се отнася до процеса на получаване на пълна информация за напреженията във всички възли и за токовете във всички клонове на дадена електрическа верига. За да изчислите линейна верига, е достатъчно да запишете необходимия брой уравнения, които се основават на правилата на Кирхоф и закона на Ом, и след това да решите получената система.
На практика обаче е възможно да се напише система от уравнения просто от формата на електрическа верига само за много прости вериги. Ако веригата има повече от дузина елементи или съдържа много взаимосвързани контури (участъци като мостове), тогава вече са необходими специални техники за написване на системата от уравнения, която определя веригата. Тези методи включватметода на възловия потенциали метода на тока на веригата.
Методът на възловите потенциали не въвежда нищо ново в правилата на Кирхоф и закона на Ом. Този метод само формализира тяхното използване, така че те да могат да бъдат приложени към всяка произволно сложна верига и подходяща за изчисляване от компютри. С други думи, методът дава отговор на въпроса "как да използваме законите за изчисляване на тази верига?".
Теоретична основа
Ако във верига, състояща се отUвъзли иРръбове, всички характеристики на връзките (импедансиR, стойности на източници на ЕМПEи токJ) са известни, тогававъзможно е да се изчислят токовеIiвъв всички ръбове и потенциалиφiвъв всички възли. Тъй като електрическият потенциал е дефиниран до произволен постоянен член, потенциалът в един от възлите (да го наречем базов възел) може да се приеме равен на нула, а потенциалите в другите възли могат да бъдат определени спрямо основния възел. Така, когато изчисляваме веригата, имамеU+P–1 неизвестни променливи:U–1 възлови потенциали иPтокове в ребрата.
Не всички от тези променливи са независими. Например, въз основа на закона на Ом за секция на веригата, токовете в връзките се определят изцяло от потенциалите във възлите:
От друга страна, токовете в ребрата еднозначно определят разпределението на потенциала във възлите спрямо основния възел:
По този начин минималният брой независими променливи в уравненията на веригата е или броят на връзките, или броят на възлите минус 1, което от двете е по-малко.
При изчисляване на вериги най-често се използват уравнения, написани на базата на законите на Кирхоф. Системата се състои отU–1 уравнения съгласно 1-ви закон на Кирхоф (за всички възли с изключение на базовия) иKуравнения съгласно 2-ри закон на Кирхоф за всяка независима верига. Независимите променливи в уравненията на Кирхоф са токовете на връзката. Тъй като според формулата на Ойлер за планарен график, броят на възлите, ръбовете и независимите контури са свързани с отношението
тогава броят на уравненията на Кирхоф е равен на броя на променливите и системата е разрешима. Броят на уравненията в системата на Кирхоф обаче е излишен. Един от методите за намаляване на броя на уравненията е методът на възловите потенциали. Променливите в системата от уравнения саУ–1 възлови потенциали. Уравненията са написани за всички възли, с изключение на базовия. В системата няма уравнения за контури.
Уравнение за потенциал във възли
Помислете за фрагмент от верига, състоящ се от възел и връзки, съседни на него (фиг. 1). Съгласно първия закон на Кирхоф сумата от токовете във възела е равна на нула:
Токът в връзката се определя въз основа на закона на Ом за секцията на веригата:
Означаване на проводимостта на ръбовете през
получаваме крайното уравнение за възела
Последното уравнение е получено въз основа на предположението, че всички източници на ток и ЕМП са насочени към разглеждания възел. Ако някой източник е насочен в обратна посока, неговият ЕМП или ток трябва да се вземат с обратен знак.
След като написахме последното уравнение за всеки възел на веригата, с изключение на базовия, получаваме система от уравнения за възловите потенциали.
Практическа употреба
Съставяне на система от уравнения
Преди започване на изчислението се избира един от възлите (базов възел), чийто потенциал се счита за нулев. След това възлите се номерират, след което се съставя система от уравнения.
Уравненията се съставят за всеки възел, с изключение на базовия. Вляво от знака за равенство е написано:
- потенциалът на въпросния възел, умножен по сумата от проводимостта на клоновете, съседни на него;
- минус потенциалите на възлите, съседни на дадения, умножени по проводимостта на клоновете, свързващи ги с дадения възел.
Вдясно от знака за равенство е написано:
- сумата от всички източници на токове, съседни на този възел;
- сумата от произведенията на всички ЕМП в съседство с даден възел и проводимостта на съответната връзка.
Ако източникът е насочен към разглеждания възел, тогава той се записва със знака "+", в противен случай - със знака "-".
Пример за система от уравнения
На диаграмата има четири възела (фиг. 2). Потенциалът на възел 0 е приетравна на нула (φ0 = 0). Записваме уравненията за възли 1, 2 и 3:
където проводимостта на ръбовете е еднаква
формален подход
В матрична форма системата от уравнения за метода на възловите потенциали изглежда така [1] :
,
е матрица на свързване с размер (q– 1) ×p(qе броят на възлите,ре броят на ръбовете), в коятоiе редът, съответстващ на възелаi, аjколоната съответства на ръбаj, а елементътAijе равно на
- 0 ако крайjне е свързан към възелi;
- 1 ако ръбът напусне възела;
- -1 ако ръбът навлиза във възела.
Концепцията за "in" и "out" означава, че за всеки ръб е дадена посока, която обикновено се свързва с посоката на тока в този ръб;
е диагонална матрица на проводимостта с размерp×p, в която диагоналният елементYiiе равен на проводимостта наiтото ребро, а недиагоналните елементи са равни на нула;
е транспонираната матрица на връзките;
— матрица-колона от възлови потенциали с размер (q– 1) × 1. Потенциалите се измерват спрямо предварително избран възел, чийто потенциал се счита за равен на нула. Нулевият възел не е включен в нито една от матриците, изброени в този раздел;
е матрица-колона от източници на ток с размерp× 1, където всеки елемент е равен на тока на съответния източник и тази стойност е нула, ако няма източник на ток в този край; положителен, ако посоката на тока на източника съвпада с посоката на тока в ръба; и отрицателен в противен случай;
е матрица-колона от източници на ЕМП с размерp× 1, където всеки елемент е равен на ЕМП на съответния източник и тази стойност е нула, ако в даденняма източник на ЕМП на ръба; положителен, ако посоката на ЕМП на източника съвпада с посоката на тока в реброто; и отрицателни в противен случай.
Пример за система от уравнения
За схемата на фиг. 2 матрици изглеждат така:
Ние умножаваме матриците в съответствие с матричното уравнение:
Разширявайки матричната нотация, получаваме следната система от уравнения:
Ограничения
Методът на възловия потенциал се прилага към еквивалентната верига, така че се прилагат същите ограничения като за приложимостта на еквивалентни вериги. Ако първоначално е дадена реална верига, тогава е необходимо да се състави еквивалентна схема за нея и да се извършат допълнителни изчисления с нея. По този начин веригата, към която се прилага методът на възловия потенциал, не съдържа реални елементи (транзистори, диоди, лампи, галванични елементи, пасивни елементи с паразитни параметри и др.).