Начисляване и дисконтиране по схемата на сложната лихва
Ако инвестицията е направена при условията на сложна лихва, тогава следващият годишен доход се изчислява не от първоначалната стойност на инвестирания капитал, а от общата сума, която включва и лихва, начислена по-рано, но непотърсена от инвеститора. В този случай капитализацията на лихвите става по време на тяхното начисляване, тъй като базата, от която се начисляват лихвите, се увеличава непрекъснато.
Така през целия живот на финансовата транзакция сумата на инвестирания капитал ще бъде равна на:
до края на първата година: ;
до края на втората година: ;
до края на n-тата година:
Това равенство се нарича формула за начисляване на сложна лихва; множител - множителят на сложната лихва; - коефициент на увеличение.
Според формулата на сложната лихва капиталовата печалба ще бъде:
.
Формулата за начисляване на сложна лихва е една от основните формули във финансовите изчисления, поради което за по-лесно използване са съставени специални таблици, за да се определи в зависимост от промяната в стойностите на r и n. В този случай формулата на алгоритъма за начисляване съгласно схемата за сложна лихва се трансформира, както следва:
където е коефициентът на умножение.
Икономическият смисъл на множителя е следният: той показва на какво ще бъде равна една парична единица след n периода при даден лихвен процент r.
Разгледаната формула предполага, че се измерва в години и е годишен лихвен процент. Тази формула обаче може да се приложи и към други периоди на начисляване. Необходимо е само да се следи съответствието между продължителността на периода и лихвения процент. Така че, ако базовият период за изчисляване на лихвата е тримесечие (месец), тогава при изчисленията трябва да се използва и тримесечната (месечна) ставка.
Както и в случаяначисляване на проста лихва, финансовото споразумение може да предвижда плаващи лихвени проценти и при начисляване на сложна лихва.
Нека - последователни периоди от време и се задава лихвен процент за периода След това, като се вземе предвид капитализирането на натрупаната лихва при използване на схемата за сложна лихва, натрупаната сума във времето се определя по формулата:
Нека обозначим тогава формулата за определяне на натрупаната стойност ще приеме формата:
По този начин, по време на целия период на финансовата транзакция, е възможно да се зададе сложна ставка, което води до същия резултат като използването на променливи ставки.
Пример. Предприемачът получи заем от банката в размер на 40 хиляди UAH. за период от 7 години при следните условия: за първата година лихвеният процент е 15% годишно, за следващите две години надбавката е 0,8%, а за следващите години надбавката е 0,9%. Намерете сумата, която предприемачът трябва да върне на банката в края на срока на кредита.
хиляди гривни
Същата стойност на натрупаната сума ще се получи, ако в рамките на 6 години се начисли лихва по средния лихвен процент за целия период на финансовата сделка.
или 10.48%.
хиляди гривни
Много често се сключват финансови договори, чиято продължителност е различна от цял брой години.
В този случай лихвата може да се изчисли по следните два метода:
Ø според схемата на сложната лихва:
Ø според смесената схема (като се използва схемата за сложна лихва за целия брой години и схемата за проста лихва за частичната част от годината):
където w е цяло число години;
f е дробната част на годината.
Пример. Банката предостави заем в размер на 50 000 UAH. за 42 месеца при 16% годишно на годишна базаизчисляване на лихвата. Колко трябва да се върне на банката в края на срока?
Схема за сложна лихва:
хиляди UAH
Смесен модел:
хиляди гривни
Така в случая смесената схема води до по-голяма натрупана сума.
Когато извършвате финансови транзакции, е важно да знаете как корелират помежду си стойностите на натрупаните суми по схемите за проста и сложна лихва.
За да отговорим на този въпрос, нека сравним коефициентите на натрупване за проста и сложна лихва, т.е. сравнете и. Очевидно е, че при n=1 тези множители съвпадат и са равни на1+r. За всякакви стойности на n са валидни следните неравенства:
1) ако
2) ако
По този начин, в случай на годишно начисляване на лихва за лицето, предоставящо заема:
Ø Схемата с проста лихва е по-изгодна, ако срокът на кредита е по-малък от една година (лихвата се начислява еднократно в края на периода);
Ø схемата със сложна лихва е по-изгодна, ако срокът на кредита надвишава една година (лихвата се начислява годишно);
Ø И двете схеми дават еднакъв резултат със срок от 1 година и еднократно изчисляване на лихвата.
При сключването на финансови договори често е необходимо да се определи времето, необходимо за увеличаване на първоначалния размер на PV с k пъти за дадена доходност r в случай на използване на прости и сложни лихвени схеми:
Ø за проста лихва от равенство получаваме:
Ø за сложна лихва от равенството получаваме
От тези формули може да се намери например периодът, през който капиталът се удвоява при даден лихвен процент. Приемайки съответно k=2, получаваме: за проста лихва и .
При практически изчисления при сключване на финансова сделкаЗа да се оцени бързо ефективността на предложения лихвен процент, схемите за сложна лихва често използват груба оценка на времето, необходимо за удвояване на инвестираната сума. За тази цел се използват няколко емпирични приблизителни формули:
Ø "Правило 72". Същността на правилото е, че ако - r е лихвеният процент, изразен като процент, тогава n е броят на периодите, за които първоначалната сума ще се удвои приблизително. Тук е необходимо да се обърне внимание на факта, че ако в повечето финансови изчисления се използва лихвен процент, изразен като десетична дроб, тогава в алгоритъма на формулата "правило на 72" процентът се приема като процент.
Ø "Правило 69". Алгоритъмът за изчисляване на удвоената сума в този случай е . Обърнете внимание, че както в предишното правило, лихвеният процент е изразен като процент.
Когато се използват тези правила, трябва да се помни, че когато се прилагат, говорим за лихвени периоди и процент, съответстващ на този период. Например, ако продължителността на финансова транзакция е половин година, тогава при изчислението трябва да се използва полугодишен лихвен процент.
Пример. Необходимо е да се определи периодът от време, през който първоначално инвестираният капитал ще се удвои при лихвен процент, равен на 17% годишно.
Ø "правило на 72" : години.
Ø "Правило 69" : години.
Ø точна формула: години.
Както показва практиката, горните правила работят добре за малки лихви, някъде до 20%.