Неравенства с една променлива
Изреченията 2x + 7 > 10-x, x 2 + 7x 0 се наричат неравенства с една променлива.
Най-общо това понятие се дефинира по следния начин:
Дефиниция.Нека f(x) и q(x) са два израза с променлива x и област X. Тогава неравенство от формата f(x) q(x) се нарича неравенство с една променлива. Множеството X се нарича негова област на дефиниция.
Стойността на променливата x от множеството X, при която неравенството се превръща в истинско числово неравенство, се нарича негово решение.Да решиш неравенство означава да намериш множеството от неговите решения.
И така, решението на неравенството 2x+7>10-x,xÎ R е числото x=5, тъй като 2×5+7>10-5 е истинско числено неравенство. А множеството от неговите решения е интервалът (1, ¥), който се намира чрез извършване на трансформацията на неравенството: 2x+7>10-x Þ 3x> Þ x>1.
Концепцията за еквивалентност е в основата на решаването на неравенства с една променлива.
Дефиниция.Две неравенства се наричат еквивалентни, ако наборите им от решения са равни.
Например, неравенствата 2x+7>10 и 2x>3 са еквивалентни, тъй като техните набори от решения са равни и представляват интервала
Теоремите за еквивалентността на неравенствата и техните следствия са подобни на съответните теореми за еквивалентността на уравненията. Тяхното доказателство използва свойствата на истинските числени неравенства.
Теорема 3.Нека неравенството f(x) > q(x) е дефиниран в набор X и h(x) е израз, дефиниран в същия набор. Тогава неравенствата f(x) > q(x) и f(x) + h(x)>gt; q(x) + h(x) са еквивалентни в множеството X.
От тази теорема следват следствия, които често се използват при решаване на неравенства:
1) Ако и двете страни на неравенството f(x) > q(x)добавяме същото число d, тогава получаваме неравенството f (x) + d > q(х)+ d, което е еквивалентно на първоначалното.
2) Ако някой член (числов израз или израз с променлива) се прехвърли от една част на неравенството в друга, променяйки знака на члена на противоположния, тогава получаваме неравенство, еквивалентно на това.
Теорема 4.Нека неравенството f(x) > q(x) е дадено в множеството X и h(x) е израз, дефиниран в същото множество, и за всички x от множеството X изразът h(x) приема положителни стойности. Тогава неравенствата f(x)× h(x) > q(х)× h(х) са еквивалентни на множеството X.
Следствието следва от тази теорема: ако и двете страни на неравенството f(x) > q(x) умножено по същото положително число d, тогава получаваме неравенството f(x)× d > q(х)× d , което е еквивалентно на даденото.
Теорема 5.Нека неравенството f(x) > q(x) е дефинирано в множеството X и h(x) е израз, дефиниран в същото множество, и за всички x в множеството X, изразът h(x) приема отрицателни стойности. Тогава неравенствата f(x) > q(x) b f(x)× h(x) q(x)умножете по същото отрицателно число d и обърнете знака за неравенство, получаваме неравенството f(x)× d
Основни понятия на темата
Ø числов израз;
Ø стойност на числов израз;
Ø израз, който няма смисъл;
Ø израз с променлива (променливи);
Ø обхватът на израза;
Ø тъждествено равни изрази;
Ø трансформация на идентичността на израза.
Ø числово равенство;
Ø числено неравенство.
Практическа част
1. Сред следните записи посочете числови изрази: а) 42: 5; б) 27; в) 32 + - ): 14; г) 2 × 7 = 7 × 2; д) (17+130 : 10 - 15; e) 142 > 71×2.
2. Кои от следните изрази имат смисъл, ако ги разглеждаме върху множеството от естествени числа: а) (135+67) × 12; б) (135 - 217): 2; в) 362 : 4?
3. Кои от следните записи са изрази с променливи: а) 8 + 0,3b; б) 21 - (4 + у); в) x + 2y y е вярно неравенство. Верни ли са следните неравенства:
а) 2x > 2г; в) 2x - 7 "или" _ * -;
V) * ; д) (a-1) * (b-1)
18. Дадено е неравенството 5 > 3. Умножете двете му части по 7; 0,1; 2.6; . Може ли въз основа на получените резултати да се твърди, че за всяко положително число a неравенството 5a > 3а вярно?
19. Попълнете задачите, които са предназначени за ученици от началното училище, и направете заключение за това как понятията числово равенство и числено неравенство се тълкуват в началния курс по математика:
а) Запишете две верни равенства и две верни неравенства, като използвате изразите: 9 × 3, 30 - 6, 3 × 9, 30 - 3. б) Подредете скобите така, че равенствата да са верни: 4 + 2 × 3 = 18; 31-10-3=24; 54-12+8=34. в) Поставете вместо * знаци за действия, така че да се получат правилните равенства: 3 * 6 * 2 \u003d 9; 9*3*6=18.
1. Кои отговори на учениците ще приемете за верни, когато изпълнят задачата – сравнете изрази, без да пресмятате стойностите им: а) 70 × 32 + 9 × 32. 79 × 30 + 79 × 2; б) 7 × 4+3 × 4. (7+8) × 4; в) 8500:1700. 8500:100:17; г) 24 × 6080. (6000+80) × 24?
2. Съставете текстова задача, чието решение може да се запише като числов израз (12 + 9) ´ 4. По колко аритметични начина може да се реши тази задача? Каква е теоретичната основа на различните начини за аритметично решаване на тази задача?
3. Съставете текстови задачи, чийто математически модел е: а) 17 ´ 3; б) (5 + 7 ) ´ 8; в) (25 + 43) ´ 3.
4. Съставете текстови задачи, чийто математически модел е: а) 35 : 7; б) (21 + 18): 3; в) (1 + 14): 3.