Номер e
Леонардо Ойлер като велик математик. Дефиниция на числото e, приблизително изчисляване на стойността му, трансцендентност и експоненциална функция. Проявлението на числото e в реалния живот и неговото практическо приложение. Приложение на числото e в математически задачи.
Изпратете добрата си работа в базата знания е лесно. Използвайте формата по-долу
Студенти, докторанти, млади учени, които използват базата от знания в обучението и работата си, ще ви бъдат много благодарни.
Хоствано на http://www.allbest.ru/
Изпълнено от: студент от група R-111
Нижни Новгород. 2011 г
Глава 1. Леонардо Ойлер като велик математик
Глава 2
2.1 Дефиниция на числото e
2.2 Приблизително изчисляване на стойността на числото e
2.3 Трансцендентност на числото e
Глава 3
Глава 4
Глава 5
Списък на използваната литература
eiclair transcendence експоненциална експоненциална функция
Във висшата математика огромна роля играе числото e, наричано още числото на Ойлер в чест на великия математик Леонхард Ойлер (1707 - 1783), който „му е дал живот“. През целия си живот той се е занимавал с наука и многобройни теоретични предложения служат като потвърждение за това, невъзможно е да се изброят всички теореми, методи и формули на Ойлер, които все още се използват, от които обаче само няколко се появяват в литературата под негово име: метод на прекъсната линия на Ойлер, метод на заместване на Ойлер, константа на Ойлер, уравнение на Ойлер, уравнения на Ойлер (използвани в механиката на флуидите), формули на Ойлер, E функция на uler, числаОйлер в математиката, формулата на Ойлер-Маклорен, формулите на Ойлер-Фурие, характеристиката на Ойлер, интегралите на Ойлер, ъглите на Ойлер и, разбира се, числото на Ойлер.
Числото e се разбира като граница
които не могат да бъдат посочени с точно число, но винаги могат да бъдат определени приблизително, като се вземе предвид необходимата точност, по формулата
където и е съотношението на разликата
yn е (n+1)-та частична сума за безкрайната серия
към число (очевидно се съдържа между 0 и 1).
Освен това числото e е трансцендентно (ирационално), което означава, че не може да бъде корен на което и да е алгебрично уравнение с рационални коефициенти.
Най-често на практика човек трябва да се срещне до известна степен с числото e, така че функцията y = ex се оказва толкова важна, че за разлика от y = ax (където a? e), тя получи специално име - експоненциалната функция или накратко експонентата. Стойността на ex също се изчислява приблизително с помощта на двойното неравенство
(ако x>0 и nN) или
(ако x k, изхвърлете всички членове на последната част след (k + 1)-ия, тогава получаваме следното неравенство:
Увеличавайки n тук до безкрайност, отиваме до границата, тъй като всички скоби имат граница от 1, намираме:
Това неравенство е валидно за всяко естествено k. Така имаме
функцията y=ex монотонно нараства и не изчезва на цялото множество от реални числа (Приложение 3). Освен това има редица теореми, които улесняват работата с дадена функция. Така, например, ако x>0, тогава за всяко естествено n неравенствата са валидни
Нека докажем неравенството (1) чрез математическа индукция.
Нека проверим валидността на даденото твърдение за n=1. Ние имаме:
е допирателната към графиката на функцията
Vточка с абсцисата
и тъй като функцията
изпъкнал надолу върху множеството от всички реални числа, тогава за всяко x от множеството от всички реални числа, неравенството
Да приемем, че неравенство (1) е вярно за n=k, тоест да предположим, че
Нека докажем неговата валидност за
тоест доказваме това
За да направим това, ние формираме спомагателна функция q - разликата между лявата и дясната част на неравенството
При x=0 тази функция изчезва: u(x)=0. Неговата производна изглежда така:
Според индуктивната хипотеза, за всички
и следователно функцията u(x) нараства върху лъча [0, + ?). Тъй като u(0)=0, тогава за всички
което означава, че неравенството
Така доказахме валидността на
при предположението, че е валидно за n = k, и тъй като е валидно и за n = 1, то е валидно за всички естествени числа n.
Нека сега докажем неравенство (2) чрез математическа индукция.
Нека проверим неговата валидност за n = 1, имаме:
Да приемем валидността на това неравенство за n = k, тоест да предположим, че
Нека докажем валидността на това неравенство за n = k + 1, тоест ще докажем това
за да направим това, ние формираме спомагателна функция q - разликата между лявата и дясната част на неравенството
Съгласно индуктивната хипотеза, за всички x> 0 имаме> 0 и следователно функцията u(x) нараства върху лъча [0, + ?). Тъй като u(0)=0, тогава за всички x > 0 имаме
което означава, че неравенството
Така доказахме валидността на неравенството
за n=k+1 при предположението, че е валидно за n = k, и тъй като е вярно и за n = 1, тогава е валидно за всички естествени n
Тоест доказахме, че за x>0 и nN двойното неравенство е вярно
С негова помощможе да се намери с всякаква точност стойността на ex за всяко x, тъй като