Обемно напрегнато състояние
Обемобемно състояние на напрежение е състояние на напрежение, което може да бъде представено като три ненулеви основни напрежения. Това напрегнато състояние е общ случай на напрегнато състояние на тяло в точка.
Обобщен закон на Хук
Спомнете си, че при едноосен опън или натиск възникват деформации - надлъжни (по посока на силата) $\varepsilon = \sigma /E$ и напречни (в други две перпендикулярни посоки) $\varepsilon ' = - \nu \cdot \varepsilon = - \nu \sigma /E$.
При действието на три основни напрежения $$, $$ и $$ ще възникнат надлъжни и напречни деформации от всяко от тях. Например напрежението $$ ще причини надлъжна деформация в посока 2, която е $ = /E$, и напречна деформация в посоки 1 и 3 $ = = - \nu \cdot /E$. По този начин деформациите по посока на главните оси от системата от три главни напрежения ще се определят, както следва
Обемна деформация. Обемен закон на Хук
Нека определим промяната в обема на тялото, което е в условията на обемно напрегнато състояние.
За обема на елементарен куб със страни $dx$, $dy$ и $d$
$ = dx \cdot dy \cdot d$.
След деформация, когато дължината на страните на куба се промени с $\Delta x$, $\Delta y$ и $\Delta z$, обемът
\[\begin = (dx + \Delta x) \cdot (dy + \Delta y) \cdot (dz + \Delta z) = \hfill \\ dx \cdot dy \cdot d + dx \cdot dy \cdot \Delta z + dx \cdot \Delta y \cdot d + \underline > + \hfill \\ + \Delta x \cdot dy \cdot d + \underline > +\подчертано > +\подчертано > > \hfill \\ \end \]
Тъй като разширенията са незначителни в сравнение с размерите на елемента (напр. $\Delta x
Абсолютна промяна на обема
\[\Делта V = - = dx\cdot dy \cdot \Delta z + dx \cdot \Delta y \cdot d + \Delta x \cdot dy \cdot d\]
Относителна промяна на обема
Ако заместим входните деформации от обобщения закон на Хук, получаваме
Ако средното аритметично на главните напрежения , тогава обемният закон на Хук може да се запише като
,
където \[k = \frac \right)>>\] е обемният модул и
Потенциална енергия на деформация
По време на деформацията на всяко тяло се изразходва определено количество енергия, което може да се превърне в топлина (по време на пластична деформация) или да се натрупа вътре в тялото под формата на вътрешна енергия на деформация (по време на еластична деформация). В последния случай, когато тялото е разтоварено, тази натрупана вътрешна енергия наистина работи.
Нека определим вътрешната енергия, която се натрупва в пръчка, опъната от силата $F$. Удължението, което прътът придобива, се определя от закона на Хук
Работата, извършена от силата $F$ при преместване на $ \Delta l$, се определя като $F \cdot \Delta l$, но това е вярно само ако силата е постоянна по време на удължаването на пръта. Всъщност стойността на силата се променя от 0 до \[F\] пропорционално на удължението. Следователно, в случай на деформация на тялото, работата, изразходвана за деформация, а с нея и потенциалната енергия на деформация, ще се определи като
Специфична потенциална енергия, която се натрупва на единица обем материал)
В случай на напрежения на срязване, подобно
В случай на състояние на обемно напрежение
След опростяване имаме
В този случай е възможно отделно да се отдели потенциалната енергия, която съответства на промяна в o ’ на обема на тялото
и промяна във формата на тялото
.
Зависимости между модулеластичност E и модул на срязване G
Нека разгледаме частен случай на равнинно напрегнато състояние - чисто срязване, при което върху някои области се появяват само тангенциални напрежения \[\tau \]. По-рано беше показано, че при чисто срязване основните области са областите, които са под ъгъл 45 в разглежданите. Основните акценти в това
Тогава потенциалната енергия на деформация
Ако вземем предвид същата енергия в области, където възникват само тангенциални напрежения, тогава
Следователно \[\frac> = \frac>>>\], т.е. има взаимозависимост между модула на еластичност E, модула на срязване G и коефициента на Поасон $\nu$
което е валидно за всички изотропни материали (материали, чиито деформационни свойства са еднакви във всички посоки).