Въведение в анализа
Теория на опашката (QS)
Ортогонални допълнения на евклидовото пространство
Ортогоналното допълнение на непразно подмножество [math]M[/math] на евклидовото пространство [math]\mathbb[/math] е множеството от вектори, ортогонални на всеки вектор от [math]M[/math] . Означава се ортогоналното допълнение
\forall \mathbf\in M \Bigr\>.[/math]
Разгледайте примери за ортогонални допълнения на евклидовото пространство.
1. Ортогонално допълнение на нулевото подпространство [math]\ \> \triangleleft \mathbb[/math] обслужва цялото пространство [math]\mathbb \colon\, \ \>^= \mathbb[/math] . Ортогоналното допълнение на цялото пространство е неговото нулево подпространство [math]\mathbb^= \ \>[/math] .
2. Нека три взаимно перпендикулярни радиус вектора [math]\overrightarrow[/math] , [math]\overrightarrow[/math] и [math]\overrightarrow< OC >[/math] . Тогава ортогоналното допълнение на вектора [math]\overrightarrow[/math] е наборът от радиус вектори в равнината, съдържаща векторите [math]\overrightarrow< OB >[/math] и [math]\overrightarrow< OC >[/math] , по-точно [math]\\>^= \operatorname(\overrightarrow,\overrightarrow)[/math] . Ортогоналното допълнение на векторите [math]\overrightarrow[/math] и [math]\overrightarrow[/math] е наборът от радиус вектори на правата,съдържащ вектора [math]\overrightarrow\colon \,\overrightarrow\>^= \operatorname (\overrightarrow)[/math] . Ортогоналното допълнение на трите дадени вектора е нулевият радиус-вектор: [math]\, \overrightarrow, \overrightarrow\>^= \\>[/math] .
3. В пространството [math]P_2(\mathbb)[/math] от полиноми от степен най-много две със скаларно произведение (8.29) има подмножество от [math]P_0(\mathbb)[/math] - полиноми от степен нула. Нека намерим ортогоналното допълнение на това подмножество. За да направим това, ние се равняваме на нула вътрешния продукт на полинома [математика] p_2 (x) = ax^2+bx+c [/математика] и постоянния полином [математика] p_0 (x) = d \ colon [/математика] [математика] \ langle p_2 (x), p_0 (x) \ rangle = a \ cdot0+b \ cdot 0+c \ cdot d = 0 math0+b \ cdot 0+c \ cdot d = 0 math0+b \ cdot 0+c \ cdot d = 0 math2. Тъй като стойността на [math]d[/math] е произволна, тогава [math]c=0[/math] . Следователно, ортогоналното допълнение на подмножеството [math]P_0(\mathbb)[/math] е множеството от полиноми от [math]P_0(\mathbb)[/math] с нулево пресичане.
Свойства на орто комплемента
Разгледайте свойствата на ортогоналните допълнения на подмножествата на n-мерното евклидово пространство [math]\mathbb[/math] .
1. Ортогоналното допълнение [math]M^[/math] на непразно подмножество [math]M\subset \mathbb[/math] е линейно подпространство, т.е. [math]M^ \triangleleft \mathbb[/math] и включването [math]M\subset (M^)^[/math] е вярно.
Наистина, множеството [math]M^[/math] е затворено спрямо операциите на векторно събиране и умножение на вектор по число, тъй като сборът от два вектора, ортогонални на [math]M[/math], е ортогонален на [math]M[/math], а произведението на вектор, ортогонален на [math]M[/math] с произволно число, е вектор, ортогонален на [math]M[/math ] . Нека докажем включването [math]M\subset (M^)^[/math] . Тогава нека [math]\mathbf\in M[/math][math]\langle \mathbf,\mathbf\rangle=0[/math] за всеки вектор [math]\mathbf\в M^[/math] . Но това означава [math]\mathbf\subset (M^)^[/math] .
2. Пресечната точка на всяко непразно подмножество [math]M\subset \mathbb[/math] с неговото ортогонално допълнение е нулев вектор: [math]M\cap M^= \\>[/math] .
Наистина, само нулевият вектор е ортогонален на себе си.
3. Ако [math]L[/math] е подпространство на [math]\mathbb
(L\triangleleft \mathbb)[/math] , след това [math]\mathbb=L\oplus L^[/math] .
Наистина, нека вземем в [math]L[/math] ортогонална основа [math](\mathbf)= (\mathbf_1, \ldots,\mathbf_k)[/math] . Завършваме го с вектори [math](\mathbf)= (\mathbf_,\ldots, \mathbf_n)[/math] до ортогонален базис [math](\mathbf),\,(\mathbf)[/math] на цялото пространство [math]\mathbb[/math] . Тогава произволен вектор [math]\mathbf\in \mathbb[/math] може да бъде представен като сума
където [math]\mathbf\in L[/math] и [math]\mathbf\in L^[/math], тъй като [math]\langle \mathbf,\mathbf_i\rangle= \sum_^\mathbf\langle \mathbf_j, \mathbf_i \rangle__>=0[/math] за [math]i=1, \ldots,k[/math] . Следователно всеки вектор в пространството [math]\mathbb[/math] се разлага на подпространства [math]L[/math] и [math]L^[/math] , т.е. [math]\mathbb= L+L^[/math] . Тази алгебрична сума е пряка сума по свойство 2, защото [math]L\cap L^=\\>[/math] . Следователно [math]\mathbb=L\oplus L^[/math] .
4. Ако [math]L\triangleleft \mathbb[/math] , тогава [math]\dim>= \dim\mathbb-\dim[/math] .
5. Ако [math]L[/math] е подпространство на [math]\mathbb[/math] , тогава [math]L=(L^)^[/math] .
Първото свойство предполага включването [math]L\subset(L^)^[/math] . Нека докажем, че [math](L^)^\subset L[/math] . Наистина ли,нека [math]\mathbf\in (L^)^[/math] . Чрез свойство 3: [math]\mathbf=\mathbf+\mathbf[/math] , където [math]\mathbf\in L,
\mathbf\in L^[/math] . Нека намерим скаларното произведение
Следователно, [math]\langle \mathbf,\mathbf\rangle=0[/math] и по аксиома 4 на точковия продукт [math]\mathbf=\mathbf[/math], така че [math]\mathbf=\mathbf+ \mathbf= \mathbf+\mathbf=\mathbf<1 3>\in L[/math] . И така [math](L^)^\subset L[/math] . Две включвания [math]L\subset (L^)^[/math] и [math](L^)^ \subset L[/math] предполагат [math]L=(L^)^[/math] .
6. Ако [math]L_1\triangleleft \mathbb[/math] и [math]L_2\triangleleft \mathbb[/math] , тогава [math](L_1+L_2)^=L_1^\cap L_2^[/math] и [math](L_1\cap L_2)^= L_1^+ L_2^[/math] .
Последните свойства са подобни на тези на алгебричните допълнения.
Намиране на ортогоналното допълнение на подпространство
Преди това бяха използвани два метода на описание (външен и вътрешен) за описание на подпространства на линейни пространства. Нека разгледаме приложението на тези методи за описание за намиране на ортогонални допълнения на подпространства. Като вземем предвид изоморфизма на евклидовите пространства, ще разгледаме аритметичното пространство [math]\mathbb^n[/math] с вътрешно произведение (8.27).
За дадено подпространство [math]L\triangleleft \mathbb^n[/math] се изисква да се намери неговото ортогонално допълнение [math]L^[/math] . В зависимост от начина на описание на подпространството [math]L[/math] използваме едно от следните две твърдения.
1. Ако подпространството [math]L\triangleleft \mathbb^n[/math] е дадено като линеен обхват [math]L=\operatorname(a_1,\ldots,a_k)[/math] на колоните на матрицата [math]A= \begina_1&\cdots&a_k\end[/math] , тогава множеството от решения на хомогенната система[math]Ax=o[/math] е неговото ортогонално допълнение [math]L^\triangleleft \mathbb^n[/math] , т.е.
2. Ако подпространството [math]L\triangleleft \mathbb^n[/math] е дадено като набор от решения на хомогенна система [math]Ax=o[/math] [math]m[/math] от уравнения с [math]n[/math] неизвестни, тогава линейният обхват на колоните [math]a_1^T,\ldots,a_m^T[/math] на транспоз. ed matrix [math]A^T=\begina_1^T&\cdots &a_m^T\end[/math] е нейното ортогонално допълнение [math]L^\triangleleft \mathbb^n[/math] , т.е.
където [math]a_i^T[/math] е i-тата колона на матрицата [math]A^T[/math] .
Нека докажем, например, първото твърдение. Линейно хомогенно уравнение
1. За разлика от алгебричното допълнение [math]L^[/math] в подпространството [math]L\triangleleft \mathbb[/math] ортогоналното допълнение [math]L^[/math] се намира уникално.
2. Ортогоналното допълнение [math]L^[/math] на подпространството [math]L\triangleleft \mathbb[/math] е, по свойството 3, също алгебрично допълнение. Това обстоятелство беше взето предвид при намирането на алгебрични допълнения с помощта на твърдения (8.16) и (8.17), които по същество съвпадат с твърдения (8.34) и (8.35).
Пример 8.19. В пример 8.10 за линейното подпространство [math]L= \operatorname[(t-1)^2,(t+1)^3][/math] на пространството [math]P_3(\mathbb)[/math] от полиноми от най-много 3-та степен беше намерено алгебрично допълнение
Докажете, че това алгебрично допълнение е ортогоналното допълнение на подпространството [math]L[/math] на евклидовото пространство [math]P_3(\mathbb)[/math] с вътрешно произведение (8.29).
Решение. За да се реши задачата, е достатъчно да се покаже, че генераторите на подпространствата [math]L:[/math]
ортогонални на генераторите на алгебричното допълнение[math]L^:[/math]
|