Основи на формалната логика - Студиопедия

Обмислете основните понятия на логиката: преценка, концепция, прости и сложни твърдения. С помощта напонятия разкриваме значението на естествени или изкуствени знаци, посочваме класовете, към които принадлежат или не принадлежат нещата, които мислим. Умственото развитие е способността за преосмисляне на стари и изграждане на нови концепции. Само понятията осмислят речта ни. Имаме концепция за нещо, ако знаем и можем да изразим устно кои условияса необходими и достатъчни за неговото недвусмислено определение.

Условие, което определя определен клас неща, се нарича необходимо, ако всички неща от този клас и евентуално някои неща от неговото допълнение удовлетворяват това условие. Условие, което определя определен клас неща, се нарича достатъчно, ако някои (може би всички) неща от този клас удовлетворяват това условие, но нито едно нещо от допълнението на класа не го удовлетворява.

По отношение на свойствата необходимостта от някакво условие може да се определи по следния начин: ако определено нещо не може да съществува без дадено свойство, то това свойство е необходимо за неговото съществуване. Ако, от друга страна, от съществуването на някакво свойство може да се заключи съществуването на нещо, тогава това свойство е достатъчно за това нещо.

Съжденията ни позволяват да изразим различни отношения между мислими неща. Имаме преценка за нещо, ако можем словесно да изразим връзката му с друго нещо или със самото себе си. Основната езикова форма на съждението е декларативното изречение. Едно съждение може да бъде вярно, невярно или неопределено. Едно твърдение (изявление) е просто, ако никоя от неговите части не може да се счита за предложение. Простите преценки обикновено се обозначават с букви: A, B, C, D

Всяко просто предложение се състои от 4 функционално различни части:

1) предмет на преценката (S) - класът неща, за които се твърди нещо;

2) предикат на съждението (P) - клас неща, които се утвърждават по отношение на субекта; предикатът изразява това, което се твърди за S;

3) утвърдителна или отрицателна връзка "е" или "не е", която се поставя между S и P;

4) думите "всички", "някои", "никой", които се поставят пред темата.

(8.1)

Ако едно просто предложение има форма, различна от (1), то може да бъде преобразувано в тази форма.

Всички прости съждения се класифицират като утвърдителни и отрицателни, които от своя страна се делят на общи и частни: „Всички студенти ходят на лекции“, „Някои учители четат детективи“, „Никой не иска да бъде нещастен“, „Някои плодове не растат в България“.

Съждението е вярно ако потвърждава връзка между предмет и знак, която се осъществява в действителност, или отрича връзка, която не се осъществява в действителност.Съждението е невярно ако потвърждава връзка между предмет и знак, която не се осъществява в действителност, или отрича връзка, която се осъществява в действителност. Истината и лъжата се обозначават по различен начин: 1 или 0, T или F (от английски True и False), AND или L. Ще използваме нотацията 1, ако предложението е вярно: A \u003d 1. Означаваме грешна преценка с нула: B =0.

Съставните съждения се състоят от няколко прости съждения, свързани с различни логически съюзи: „не е вярно, че A“, „B и C“, „A или D“, „ако B, тогава C“, „или A, или B“. Например „днес е тихо и облачно“. Сложните предложения могат да бъдат изразени чрез прости предложения, но не и обратното.

Извиква се връзката "не е А" или "не е вярно, че А".отказ. Отрицанието на предложение А е вярно, ако А е невярно, и невярно, ако А е вярно. Отрицанието на предложение А се означава като "не А" или , или не(А). Правилата за изчисляване на логическата операция "отрицание" могат да бъдат посочени с помощта на таблицата:

не А

Свързващото "и" се наричаконюнкция на изявления A и B и се оценява на вярно само когато и двете изявления са верни, в противен случай връзката се оценява на фалшиво. Те обозначават връзката на твърденията A и B като A&B, A и B (в програмирането), A Ù B (в учебниците по логика). Ние задаваме правилата за изчисляване на връзката, използвайки таблицата на истината:

А Ù Б

Конюнкция понякога се нарича логическо умножение: резултатът в третата колона може формално да бъде получен като произведение на числа от 1-ва и 2-ра колони.

Логично връзката "или" се нарича дизюнкция.Дизюнкцията на две твърдения A и B приема стойността "вярно", ако поне едно от твърденията е вярно, и стойността "лъжа", ако и двете твърдения са неверни. За дизюнкция се използва нотацията A Ú B, в програмирането се използва нотацията A или B. Таблицата на истината за дизюнкцията е:

A Ú B

Дизюнкцията понякога се нарича логическо събиране. Връзката "или" в дизюнкция не е изключителна. В логиката се използва т. нар.силна дизюнкция (изключително или), която на български се изразява със съединителя „или А, или Б”. Изключително е, т.к се оценява на true, когато операндите имат различни булеви стойности. Наричано в програмирането като A xor B; таблицата на истината изглежда така:

AxorB

Очевидно е, че конюнкция, дизюнкция и силна дизюнкция са комутативни операции, т.е.

AÙB = BÙA; AÚB = BÚA; AxorB = BxorA.

Валидността на тези формули следва от таблиците на истината: чрез пренареждане на първите две колони на таблицата ще получим стойности в третата колона, които съответстват на стойностите на третата колона на оригиналната таблица. Съставните предложения са еквивалентни, ако приемат едни и същи логически стойности за едни и същи стойности на простите изявления, включени в тях.

Логическа връзка "ако...тогава..." се наричаимпликация. Импликацията на твърденията "ако A, тогава B" се оценява на невярно само в един случай, когато A е вярно и B е невярно. Импликацията се означава като A®B. Съждение А се нарича предпоставка, Б - следствие. Понякога се използват термините антецедент за предпоставка А и следствие за заключение Б. Таблицата на истината за импликацията е:

A®B

Импликацията няма свойството комутативност. Това следва от таблицата на истината: ако размените колони 1 и 2, тогава стойностите в третата колона ще се променят. Много теореми в математиката приемат формата на импликация. Когато доказваме теореми от формата A ® B, ние доказваме, че ситуацията, в която невярно заключение B може да бъде изведено от правилна предпоставка A, е невъзможна. Например, "Ако числова серия се сближава, тогава нейният n-ти член клони към нула." Ако теорема A ® B е валидна, тогава се казва, че B е логическо следствие от A.

Еквивалентът е логическа връзка, която се изразява с думите „А, ако и само ако B“, „за A, B е необходимо и достатъчно“. Еквивалентността се означава като AB и се изразява чрез импликация и връзка:

Еквивалентът е верен, ако и двете твърденияимат същото значение. Таблицата на истината за еквивалентността е:

А "Б"

Много теореми в математиката приемат формата на еквивалентност. Такива теореми се наричат критерии. Например „точковият продукт на ненулевите вектори P и Q е нула тогава и само ако тези вектори са перпендикулярни.“

От няколко прости твърдения, с помощта на логически операции, могат да се направят по-сложни твърдения. Скобите могат да се използват за указване на реда, в който се изпълняват логическите действия. За недвусмислено четене на логически изрази се приема следният приоритет на операциите (изброени в низходящ ред на приоритета): отрицание, конюнкция, дизюнкция, силна дизюнкция, импликация, еквивалентност. Отрицанието е най-"силната" операция. Например,

A u B Ú C = (A u B) Ú C; Ú B ® C = (( ) Ú B) ® C;

Използвайки знака = (равно на) ще обозначимеквивалентни изявления - изявления, които приемат едни и същи логически стойности за същите стойности на простите изявления, включени в тях. Логическото значение на съставно твърдение се определя от логическите стойности на простите твърдения, включени в него. Например, изисква се да се изчисли логическата стойност на сложния израз "не (A Ù B) Ú (не C)", ако A = 1, B = 1, C=0. Нека заместим техните значения вместо прости твърдения. Тогава A u B = 1, а не (A u B) = 0, (не C) = 1, дизюнкцията 0 Ú 1 = 1. Даденото предложение е вярно за дадените стойности A, B, C.

За да се определят всички възможни стойности на сложно твърдение, в зависимост от възможните стойности на елементарните твърдения, включени в него, е възможно да се изгради таблица на истината. В тази таблица за всяко просто твърдение, включено в даденото сложноотчет, трябва да създадете отделна колона. След това трябва да попълните редовете на таблицата за прости твърдения с всички възможни комбинации от техните логически стойности. Ако броят на простите изрази е n, тогава ще има 2 n такива комбинации. След това трябва да представите сложно твърдение като комбинация от по-прости, но и сложни твърдения и да създадете колона за всяко от тях. Започваме една колона (обикновено последната) за дадено твърдение. Попълваме всички редове на получената таблица. Например, нека е дадено твърдението (формулата).

не A Ú B ® A Ù не B.

Трябва да създадете таблица на истината за това твърдение. Записваме тази формула с помощта на скоби: ((не A) Ú B) ® (A Ù (не B)). В таблицата ще има четири реда, т.к Има две прости изречения: А и Б.

не А

Не в

не A Ú B

А Ù не Б

(не A Ú B) ® (A Ù не B)

Обърнете внимание, че дадената формула е еквивалентна на формулата „не (A ® B)“ (вижте таблицата на истината за подразбиране), тъй като приема същите логически стойности с нея за същите стойности на прости преценки, включени в тези формули.

Изброяваме основните правила за преобразуване на логически изрази. Тези правила се използват за опростяване на дадени формули, за да се получат по-прости и еквивалентни изрази от тях.

1) = A (закон за двойното отрицание).

2) A Ú = 1 (Закон за изключена среда)

9) A u = 0

10) A Ù (B Ú A) = A

11) A Ú (B Ù A) = A

Правила за изразяване на някои логически операции чрез други:

1) A ® B = Ú B

2) (закон на де Морган)

3) (закон на де Морган)

В логиката се доказва теорема, която гласи, че всички логически операции могат да бъдат изразени чрез отрицание,конюнкция и дизюнкция. Твърди се, че тези операции образуват пълна система от логически операции.

Операциите на конюнкция и дизюнкция имат свойствата на комутативност, асоциативност и дистрибутивност:

1) A Ù B = B Ù A; - комутативност.

2) A Ú B = B Ú A; - комутативност.

3) A u (B u C) = (A u B) u C ;- асоциативност.

4) A Ú (B Ú C) = (A Ú B) Ú C; - асоциативност.

5) A u (B u C) = (A u B) u (A u C); - дистрибутивност.

6) A Ú (B Ù C) = (A Ú B) Ù (A Ú C); - дистрибутивност.

Помислете за пример за еквивалентни трансформации. Опростете формулата, като използвате свойствата, изброени по-горе, и правилата за преобразуване на логически изрази:

Нека извършим верига от еквивалентни трансформации:

През 20 век настъпват важни промени в математическата логика: за първи път от създаването си логиката става многозначна. В многозначната логика твърденията могат да имат повече от две истинностни стойности. През 1920 г. Ян Лукасевич разработва тризначна логика. В него твърденията могат да приемат три значения: „вярно“, „невярно“ и „може би“ или „недефинирано“. При такава логика законът за изключената среда не важи. През 1921 г. Е. Пост излага идеята за многоценна логика. В k-стойностните логически оператори могат да приемат стойности от 0 до k-1, където k=3,4, 5… и т.н.

Не намерихте това, което търсихте? Използвайте търсачката:

Деактивирайте adBlock! и обновете страницата (F5)наистина е необходимо