Питагорейска школа
В питагорейството се разграничават два компонента: практически („питагорейският начин на живот“) и теоретичен (определен набор от учения). В религиозното учение на питагорейците ритуалната страна се смяташе за най-важна, след това имаше за цел да създаде определено състояние на ума и едва след това вярванията бяха важни, при тълкуването на които бяха разрешени различни варианти. В сравнение с други религиозни течения, питагорейците са имали специфични идеи за природата и съдбата на душата. Душата е божествено същество, тя е затворена в тялото като наказание за прегрешенията. висшата цел на живота е да се освободи душата от телесния затвор, да се предотврати влизането й в друго тяло, което уж се случва след смъртта. Начинът за постигане на тази цел е прилагането на определен морален кодекс, „Питагоровия начин на живот“. В многобройната система от предписания, които регулираха почти всяка стъпка от живота, важно място беше отделено на музиката и научните изследвания.
Теоретичната страна на питагорейството е тясно свързана с практическата. Питагорейците виждат в теоретичните изследвания най-доброто средство за освобождаване на душата от кръга на ражданията и техните резултати се стремят да бъдат използвани за рационално обосноваване на предложената доктрина. Вероятно в дейността на Питагор и неговите най-близки ученици научните позиции са смесени с мистика, религиозни и митологични идеи. Цялата тази "мъдрост" беше представена като изказвания на оракула, на които беше придаден скрития смисъл на божественото откровение.
Основните обекти на научно познание сред питагорейците са били математическите обекти, предимно числата от естествените серии (припомнете си известното „Числото е същността на всички неща“). Видно място беше отделено на изучаването на връзките между четните и нечетните числа. В областта на геометричните знания вниманиесе фокусира върху най-абстрактните зависимости. Питагорейците изграждат значителна част от планиметрията на правоъгълни фигури; най-високото постижение в тази насока е доказателството на Питагоровата теорема, частни случаи на която 1200 години по-рано са дадени в клинописните текстове на вавилонците. Гърците го доказват по общ начин. Някои източници дори приписват на питагорейците такива изключителни резултати като изграждането на пет правилни полиедъра.
Ако сравним математическите изследвания на ранните питагорейски и милетски училища, можем да идентифицираме редица съществени разлики. Така математическите обекти се разглеждат от питагорейците като първичната същност на света, т.е. самото разбиране за природата на математическите обекти се променя радикално. Освен това математиката е превърната от питагорейците в съставна част на религията, в средство за пречистване на душата, постигане на безсмъртие. И накрая, питагорейците ограничават сферата на математическите обекти до най-абстрактните типове елементи и съзнателно пренебрегват приложенията на математиката към индустриални проблеми. Но каква е причината за такива глобални несъответствия в разбирането на природата на математическите обекти сред школите, които съществуват почти по едно и също време и черпят мъдростта си, очевидно, от един и същи източник - културата на Изтока? Въпреки това, Питагор най-вероятно е използвал постиженията на милезийската школа, тъй като той, подобно на Талес, разкрива основните признаци на умствена дейност, които се различават от предгръцката епоха; въпреки това математическата дейност на тези училища беше от значително различен характер.
Аристотел е един от първите, които се опитват да обяснят причините за появата на питагорейската концепция за математика. Той ги видя в самата математика: „Така наречените питагорейци,математическите науки, за първи път ги придвижи напред и, след като беше образован върху тях, започна да ги смята за началото на всички неща. Подобна гледна точка не е лишена от основание дори само поради приложимостта на математическите положения за изразяване на връзки между различни явления. На тази основа е възможно, чрез ненужно разширяване на дадения момент от математическото познание, да се стигне до твърдението за изразимостта на всичко, което съществува с помощта на математически зависимости, и ако считаме, че числовите отношения са универсални, тогава „числото е същността на всички неща“. Освен това, по времето, когато питагорейците са били активни, математиката е изминала дълъг път в историческото развитие; процесът на формиране на основните му разпоредби беше изгубен в мъглата на времето. Така се появи изкушението да се пренебрегне и да се обявят математическите обекти за нещо първично по отношение на съществуващия свят. Точно това са направили питагорейците.
Така още в началото на своето развитие теоретичната математика е повлияна от борбата между два типа светоглед - материалистичния и религиозно-идеалистичния. Видяхме, че наред с влиянието на светогледа върху развитието на математическите знания има и обратен ефект.