Подгрупа Решаване на задачи по математика и други предмети Решаване
Подгрупа на група е подмножество от нейните елементи, което образува група по отношение на операцията, дефинирана в
1) произведението (сумата) на всеки два елемента принадлежи към 2) за
Всеки елемент Обратният елемент принадлежи на Това ще бъде достатъчно
Но тъй като асоциативният закон е в сила за всеки три елемента, включително за елементи А, неутралния елемент (1 или 0) ще принадлежи (като произведение или сума
Примери за подгрупи на някои групи.
I. Множеството от всички реални числа е адитивна група.
Подгрупите на адитивната група на всички реални числа са по-специално следните: 1) адитивната група от рационални числа; 2) адитивната група от цели числа; 3) адитивната група на всички цели числа, които са кратни на число, например адитивната група от четни числа.
Групата на целите числа е подгрупа на групата на рационалните числа.
Забележка 1. Множеството от нечетни числа не образува събирателна група, тъй като сумата от две нечетни числа е четно число (и не принадлежи към това множество).
P. Мултипликативната група на всички ненулеви реални числа има по-специално следните подгрупи: а) мултипликативната група на положителни реални числа; 2) мултипликативната група от рационални числа, различни от нула; 3) набор, състоящ се от две числа с операция умножение.
Забележка 2. Мултипликативната група на положителните реални числа не е подгрупа на адитивната група на всички реални числа, тъй като груповите операции в разглежданите множества са различни (съответно умножение, събиране).
Ш. Мултипликативната група на неизроденитематрици от ред n има по-специално подгрупи: 1) групата на ортогоналните матрици; 2) група диагонални матрици; 3) група матрици с положителен детерминант; 4) група матрици с детерминант равен на единица (тази група се нарича унимодуларна).
Пресечната точка на две подгрупи от група е подгрупа от в Например, в адитивната група от цели числа, пресечната точка на подгрупа от четни числа и подгрупа от числа, които са кратни на три, ще бъде подгрупа от числа, които са кратни на шест.
Всяка група е своя собствена подгрупа. Освен това всяка група има подгрупа за идентичност, състояща се от един неутрален елемент (едно или нула). Тези две подгрупи се наричат неправилни (или тривиални) подгрупи. Останалите подгрупи се наричат правилни (или истински) подгрупи. Във всяка група всички подгрупи на всяка група са в същото време подгрупи на оригиналната група. Например адитивната група от цели числа е подгрупа от адитивната група от рационални числа, която от своя страна е подгрупа от адитивната група от всички реални числа; адитивната група от цели числа е подгрупа от адитивната група от всички реални числа.