Подобни матрици

За квадратни матрициAиBот един и същи ред се казва, че саподобни, ако съществува неособена матрицаPот същия ред, така че:

B = P − 1 A P . AP.>

Подобни матрици се получават чрез задаване на една и съща линейна трансформация чрез матрица в различни координатни системи; докато матрицатаPе матрицата на прехода от една система към друга.

Ако две матрици са подобни, тогава се казва, че една от матриците е получена чрез трансформация на подобие от другата. Освен това, ако една от матриците е диагонална, тогава се казва, че втората матрица може да бъде диагонализирана.

Отношението на подобие на матрицата е отношение на еквивалентност в пространството на квадратните матрици.

Тези матрици споделят много характеристики, а именно:

Може да се докаже, че всяка матрицаAе подобна наA T.

Канонични форми на подобни матрици

Често възниква въпросът доколко формата на дадена линейна трансформация може да бъде опростена чрез промяна на основата (т.е. координатната система). Тъй като получените матрици са подобни, това е същото като търсене на някаква канонична форма на матрица в класа на еквивалентност на матрици, подобни на матрицата на тази линейна трансформация.

Най-простата такава форма би била, разбира се, диагонална матрица, но не всички матрици могат да бъдат редуцирани до диагонална форма (важно изключение са симетричните реални и ермитовите матрици, които винаги могат да бъдат диагонализирани).

Има няколко по-сложни канонични форми на матрици, до които всяка матрица може да бъде редуцирана чрез трансформация на подобие:

---