Популярни лекции по книги по математика
Теорема за приложение.От две отделни добре подредени множества едното е левият лъч на другото.
Тази формулировка трябва да бъде пояснена. Когато някои обекти се разглеждат в математическите разсъждения, те веднага уреждат кой от тях трябва да се счита за равен, еквивалентен. Например, когато се изучават групи, те се разглеждат с точност до изоморфизъм *18 . Така че тук разглеждаме добре подредени множества доизоморфизъм, т.е. до картографиране, запазващо реда (aЫf(a) *18 За нас няма значение, когато има два елемента в групата, това са 0 и 1 или слон и жираф. Ако таблицата за умножение на слон по gira ffe е същото като нула по едно, добре, добре.
Доказателствое очевидно чрез трансфинитна индукция. Въвеждаме трансфинитна индукция на първото множество. Нека изпратим най-малкия елементAкъм най-малкия елементB. Освен това, нека всички a отAпо-малко от някои a 0 вече са изпратени до елементиB. Ако все още има елементи без прообрази вB, избираме най-малкия сред тях и му изпращаме 0, ако няма повече елементи вBбез прообрази, тогаваB– е левият лъч наA. В противен случай изчакваме до края наA.
Дефиниция.Нека наречемординалнапълно подреден набор. (Отново, това, което всъщност наричаме ординал, не е набор, а класът на еквивалентност на добре подредени множества по отношение на релацията „изоморфен“.) Между ординалите може да се въведе връзка на реда, като се използва теоремата за приложение, т.е.AЖ . След това идва 1 *19 . Следващият порядък – е 2, след това 3 и т. н. Следва порядъкът на "естествените числа", който означава w. Ако поставим най-голямото число след всички естествени числа (получаваме конвергентна редица), тогава w+ 1 и т.н., до w + w (или 2 w ), т.е. до две сближаващи се последователности една след друга. След това 3 w, 4 w и т.н., до w · w. Този ред може да си представим по следния начин: вземете последователносттаan= [ 1/(n)] и добавете към всеки елемент сходяща последователност
| Фиг. 10 |
| W , 1, 2, 3, . w , w + 1, w + 2, . w + w , 3 w , . w · w , w 3 , . w1, . |
| *19 Всъщност е, разбира се, < F >, но тъй като всички в училище вече са свикнали да пишат 1, тогава. |
Какво представляват кардиналите? Някои ординали имат специално свойство, а именно, те не са еквивалентни на нито един от левите си лъчи. Такива ординали се наричат началнииликардинали. (Всъщност кардиналите все още могат да бъдат дефинирани по следния начин: те са класове на еквивалентност на множества по отношение на „еквивалентно“.) Нито ординалите, нито кардиналите образуват множества, но тези „не-множества“ са в известен смисъл едни и същи (може да се приложи донякъде формализирана теорема за приложение за класа на ординалите и класа на кардиналите).
11.1. хипотеза за континуум
Теорема.2 w = c = [0, 1] не може да бъде представено като обединение на изброим брой множества с кардиналност, по-малка от континуума 7.
По друг начин може да се каже по следния начин: ако континуумът е разделен на обединението на изброим брой множества, тогава поне едно от тях има мощността на континуума. Ако знаехме, че наборът от мощности, по-малки от континуума, е изброим, тогава всичкиочевидно: изброимо обединение на изброими множества е изброимо. Но ние не знаем. Все пак се опитайте да докажете тази теорема.
По подобен начин можем да докажем едно по-общо твърдение:
| 2а > | И b a | g b, където g b a, |
Теорема.Теоремата по-горе и връзката на реда, която въведохме между кардиналите, –, са единствените ограничения за цялата верига от кардинали (т.е. предвид тези две условия, „всичко може да бъде“).
Това означава следното. В продължение на много години математиците се опитваха да докажат или отхвърлят естествено твърдение, наречено хипотеза за континуума:
| 2 a = a + , |
През 1930 г. Гьодел доказва, че хипотезата за континуума е в съответствие със стандартната аксиоматика; през 1960 г. Коен осъзнава, че отричането на хипотезата за континуума също е в съответствие с тази аксиоматика; през 1980 г. е доказана теоремата, че „всичко може да бъде“.
Как може да се докаже като цяло, че определено твърдение е в съответствие с някои аксиоматики, например с аксиоматиката на Zermelo–Frenkel? Необходимо е да се добави към тази аксиоматика и да се изгради модел за получената система от твърдения. Един от моделите е построен съвсем просто: трябва внимателно да премахнете от веригата от кардинали всички междинни между a + и 2 a за всяко a , тогава хипотезата за континуума ще бъде изпълнена. Вторият модел е малко по-сложен.
11.2. Най-големият кардинал
Понякога теоретици на множествототе започват да играят игра: кой ще назове по-голям комплект, кой ще излезе с най-големия кардинал. И такива игри водят до доста смислени определения и теореми.
Ние наричаме кардинал aсилно недостижим, ако за който и да е кардинал b по-малко от a, множеството от всички подмножества на b е строго по-малко от a. Нека наречем кардинал aUlam измерим, ако съществува изброимо добавена мярка m върху множеството от всички подмножества a, приемаща за всяко множество стойността или 0, или 1, и m ( Ж ) = 0, m ( a ) = 1. Трябва също да изискваме m да не е така наречената d-мярка, т.е. да няма формата
| m (A) = | m n o |
| 1 , |
Такива доста странни определения формализират идеята за много големи, огромни кардинали по различни начини. Веднага възникват интересни свойства на такива набори.
4.Ако – е Ulam измерим кардинал, тогава a е силно недостижим.
Възниква естествен въпрос за съществуването на такива кардинали (важното е, че това не засяга упражнението, формулирано по-горе; дори ако нито единият, нито другите кардинали съществуват, никой не забранява да се докажат твърденията, които ги свързват). Нека формулираме проблем, обясняващ всичко.
5.Докажете, че ако съществува силно непостижим кардинал, тогава теорията на множествата със стандартната система от аксиоми на Zermelo–Fraenkel е последователна.
Както е известно, трудно е да се докаже последователността на теорията на множествата. дори съществуватеорема, която казва, че това е доста проблематично да се направи. Това показва, че току-що формулираното твърдение е много силно по своята същност. Нека се опитаме да дадем представа за неговото доказателство.
Наистина, ако съществува силно недостижим кардинал, тогава множеството от всички негови по-малки кардинали е затворено спрямо теоретико-множествените операции (обединение, пресичане и т.н.), т.е., то образува вътрешен модел на теория на множествата. Работейки с кардинали от тази колекция, ние никога няма да надхвърлим нашия крайно недостижим кардинал. Това означава, че чрез самата теория на множествата сме изградили модел на тази теория на множествата, т.е. доказали сме нейната последователност. 7c – е обичайна нотация за кардиналността на сегмента [0,1].