Преобразуване на Лаплас

За решаване на линейни диференциални уравнения ще използваме трансформацията на Лаплас.

Трансформацията на Лапласе релацията

(1)

който присвоява функциитеx(t)на реалната променливаtна функциятаX(s)на комплексната променливаs (s = σ+jω).В този случайx(t)се наричаоригинал, X(s)се наричаизображениеилиизображение според La мястоиs—Променлива за преобразуване на Лаплас.Оригиналът се обозначава с малка буква, а изображението му — с главна буква със същото име.

Предполага се, че функциятаx(t), подложена на трансформацията на Лаплас, има следните свойства:

1) функциятаx(t)е дефинирана и частично диференцируема на интервала [0, ∞);

2)x(t)≡ 0 заtct за 0 ≤t s.

(2)

Условно директните и обратните преобразувания на Лаплас са записани съответно във формата

къдетоLе операторът на Лаплас, аL-1 е обратният оператор на Лаплас.Основни свойства на трансформацията на Лаплас.

1.Свойство за линейност.За всякакви константиα и β

т.е. преобразуването на Лаплас на сумата от функции е равно на сумата от трансформациите на членовете и постоянните множители могат да бъдат извадени от знака на трансформацията.

2.Диференциране на оригинала.Ако производната е оригиналната функция, тогава

къдетоX(s)=L, .

Тук обозначениетоt→ +0 означава, чеtклони към нула, като остава положително (граница отдясно).

Акоn-iпроизводнатаx( n ) (t) е оригиналната функция, тогава

Тукх ( k )(0) = limх ( k )(t)k =0,1. , n - 1.

Заx(0) =x(0) =…=x(n-1) (0) = 0, последната формула става

По този начин, при нулеви начални условия, диференцирането на оригинала съответства на умножаване на изображението сs.

3.Оригинална интеграция.Оригиналната интеграция се свежда до разделяне на изображението наs:

4.Теорема за закъснението.За всяко τ > ОТНОСНО

5.Теорема за диференциране на изображението.Изображението от произведението наtотx(t)е равно на производната на изображениетоX(s), взето с обратен знак:

6.Теорема за преместване в комплексната равнина.Изображението от произведението от , се получава чрез заместване на променливатаsс в изображениетоX(s):

7.Теорема за конволюция (умножение на изображение).Акоx1(t)иx2(t)са оригинали, а X1(s) и X2(s) са техните изображения, тогава

Интегралът от дясната страна се наричаконволюция на функциите x\(t)иx2(i),той се обозначава

8.Теореми за граничните стойности.Акоx(t) е оригиналът и X(s) е неговият образ, тогава

и ако съществува тогава

Таблицата показва изображения на Лаплас за често използвани функции

Не.	Оригиналенx(t)	ИзображениеX(s)
1(t)
t

Пример 1.Намерете изображение за

Изображението е равно на

Въз основа на теорема 5 изображениетоX(s)ще бъде равно на

Пример 2.Намерете изображение

Нека изразим чрез косинуса на двойния ъгъл

Изображение

Въз основа на теорема 6:

Пример 3.Намерете изображение

Изображение, намерено в пример 1.

Въз основа на теорема 6: получаваме изображението, като замествамеsсв предишния израз

Не намерихте това, което търсихте? Използвайте търсачката:

Деактивирайте adBlock! и обновете страницата (F5)наистина е необходимо

---