Пресмятане и записване на приблизителни числа
1.5.1. Записване на приблизителни числа
Приблизителните числа обикновено се записват в стандартна форма:
където е десетично число с плаваща запетая, съдържащо толкова цифри, колкото има значими цифри в приблизителното число, е положително или отрицателно цяло число, наречено експонента.
1) Плътност на кислорода 0,00143 g/cm 3 = 1,43 kg/m 3 (1 kg/m 3 = 10 -3 g/cm 3 ).
2) Скоростта на светлината във вакуум е 300 000 km/s = 3 10 8 m/s.
Значими цифри на приблизителен брой може да са верни или несигурни (съмнителни).
Ако абсолютната грешка на приблизителното число не надвишава единицата на последната цифра, тогава всички значими цифри на приблизителното число се наричат правилни.
Плътността на живака е 13,5955 g/cm3.
Нека закръглим тази стойност до стотни: 13,60 g / cm 3 \u003d 13,60 10 3 kg / m 3. Всички цифри от 13,60 са правилни, тъй като абсолютната грешка при закръгляване е 13,60 - 13,5955 = 0,0045, което е по-малко от 0,01.
Всички значими цифри на приблизителното число, получено в резултат на закръгляване, ще бъдат верни.
Ако абсолютната грешка на приблизителното число надвишава единицата на последната цифра, тогава последната цифра на приблизителното число е неопределена.
При измерване на обема на течността с чаша се получава резултатът: (140 ± 5) ml. Числото 0 в числото 140 не е значимо, тъй като абсолютната грешка е по-голяма от една от последните цифри.
При повдигане на приблизително число на степен или извличане на корени от него, като резултат трябва да се запазят толкова значими цифри, тъй като оригиналното число има правилни значими цифри.
(3,4 10 2 ) 3 \u003d 39304000 "3,9 × 10 7 (в оригиналното число има две значещи цифри).
1.5.2. Събиране и изваждане на приближени числа
При събиране и изваждане на приблизителни числа, в записа на коитовсички цифри са правилни, оставете толкова десетични знаци, колкото има числото с най-малък брой десетични знаци.
1) 5,14 + 12,1 + 6,353 = 23,593 » 23,6.
2) 405 + 0,43 = 405,43 » 405.
1.5.3. Умножение и деление на приближени числа
Когато умножавате и делите приблизителни числа, трябва да запазите толкова значими цифри, колкото е резултатът, колкото има приблизителното число, дадено с най-малък брой правилни значими цифри.
1) 1,5 220 \u003d 1,5 2,2 10 2 "3,3 10 2.
2) 1,5 35 \u003d 52,5 » 52.
1.5.4. Използване на таблични стойности
Когато използвате таблици, трябва да се има предвид, че грешките на дадените стойности са равни на половината от следващата цифра след последната значима цифра. Например, ако таблицата показва: r \u003d 2,7 10 3 kg / m 3, тогава всъщност r = (2,70 ± 0,05) 10 3 kg / m 3.
Точността на запис (брой значещи цифри) на отделните измервания и последващите изчисления по време на тяхната обработка трябва да съответстват на необходимата точност на резултата от измерването. Тук се препоръчва да се придържате към следните правила.
1. Ако първата цифра, която трябва да бъде заменена с нули или изхвърлена, е по-голяма или равна на 5, но последвана от различна от нула цифра, тогава последната оставаща цифра се увеличава с единица.
Пример.
1) 8,3351 (закръглено до стотни) ≈ 8,34;
2) 0,2510 (закръглено до десети) ≈ 0,3;
3) 271,515 (закръглено нагоре) ≈ 272.
2. Ако първата (отляво надясно) от цифрите, заменени с нули или изхвърлени, е по-малка от 5, тогава останалите цифри не се променят. Допълнителните цифри в целите числа се заменят с нули, а в десетичните дроби се изхвърлят.
Пример.
При съхраняване на четири значими цифри
1) числото 283435 трябва да се закръгли до 283400;
2) числото 384.435 - до 384.4.
3. Бройцифрите в резултатите от междинните изчисления обикновено трябва да са с една повече, отколкото в крайния резултат. Грешките в междинните изчисления трябва да бъдат изразени с не повече от три значещи цифри.
4. Резултатът от измерването трябва да бъде закръглен така, че да завършва с цифра от същата цифра като стойността на грешката. Ако десетичната дроб в числената стойност на резултата от измерването завършва с нули, тогава нулите се отхвърлят само за цифрата, която съответства на цифрата за грешка.
Пример.
Числото 0,67731 с грешка ± 0,005 трябва да се закръгли до третата значима цифра до стойността 0,677.
5. Изчисляването на грешката на измерване също не трябва да се извършва с по-голяма точност от изчисляването на стойността на самата измервана величина.
1.6. Парцелиране
В експерименталната физика е важно резултатите от измерванията да се представят във визуална форма, удобна за използване и обработка. Обикновено за това се съставят таблици, графики и уравнения. Представянето на данни под формата на таблици улеснява сравнението на различни стойности, следователно експерименталните данни, като правило, се записват в таблица, което също позволява поддържането и обработката на резултатите от измерванията. При начертаване на графика функционалната зависимост става явна, а резултатите от експеримента са визуални. Гледайки графиката, можете веднага да оцените вида на получената зависимост, да получите качествена представа за нея и да отбележите наличието на максимуми, минимуми, точки на инфлексия, области на най-високи и най-ниски скорости на изменение, периодичност и др. Графиката също така позволява да се прецени съответствието на експерименталните данни с разглежданата теоретична зависимост и улеснява обработката на измерванията. Най-често графиката представлява връзка между две променливи. При изграждането му,използвайте определени правила:
1) Графиките се правят предимно на милиметрова хартия или хартия със специални координатни мрежи.
2) Като координатни оси трябва да се използва правоъгълна координатна система (това улеснява използването на построената графика). Общоприето е да се остави настрана по абсцисната ос стойността, чиито промени предизвикват промяна в друга (т.е. по абсцисната ос - аргумент, по ординатната ос - функция). Координатните оси трябва да завършват със стрелки. Върху оста е нанесена скала, чийто неправилен избор е една от най-честите грешки, често обезценяващи графиката.
3) Скалата се прилага така, че разстоянието между деленията да е 1, 2, 5 единици (2,5 и 4 са приемливи). Броят на деленията с числа на всяка ос обикновено е от 4 до 10. В края на оста се посочва чакащата стойност и нейните мерни единици. Обикновено редът на скалата ( , където е цяло число) също се изважда там. В този случай множителят, който определя порядъка на величината, може да бъде включен в мерните единици, например: , mA или , 10 A. Ако еталонът е нула, той трябва да бъде посочен в точката на пресичане на осите. Мащабът трябва да бъде избран така, че кривата да заема целия лист, а грешката на измерване да съответства на едно или две малки деления на графиката. В този случай референтната точка не трябва да започва от нула, понякога е по-удобно да изберете закръглено число, различно от нула, и по този начин да увеличите мащаба, но грешката все пак трябва да бъде едно или две малки деления. Тези числа не трябва да са твърде плътни. Пример за проектиране на графична зависимост на съпротивлението на термистора от температурата е показано на фиг. 1.2.
4) Скалите по двете оси се избират независимо една от друга.
5) При изучаване на физични явлениятрябва да се има предвид, че в тези области, където ходът на кривата е монотонен, можете да се ограничите до малък брой измервания (няколко точки от кривата на графиката). В областите на максимуми, минимуми и точки на инфлексия измерванията трябва да се правят много по-често, което ще повиши точността на чертането.
6) Точките трябва да бъдат нанесени върху графиката внимателно и точно, така че графиката да е по-точна. Всички измерени стойности се нанасят върху графиката. Ако една точка е измерена няколко пъти, тогава трябва да начертаете средната аритметична стойност и да посочите разпространението. Ако различни групи от данни са нанесени на една и съща графика (резултати от измерване на различни стойности или една и съща стойност, но получени при различни условия и т.н.), тогава точките, принадлежащи към различни групи, трябва да бъдат маркирани с различни символи (кръгове ·, триъгълници ▼, ромб ♦ и т.н.).
Фиг. 1.2. Температурна зависимост на съпротивлението на термистора
7) Грешката на измерване е изобразена на графиката с помощта на „кръстове“ с подходящи размери, нанесени върху точките (виж Фиг. 1.2).
8) Директната зависимост от графиката се извършва с молив с помощта на линийка. Кривата се чертае гладко на ръка по протежение на експерименталните точки. За последващия ход на кривата можете да използвате шаблон.
9) Ако функцията се променя с няколко порядъка с малки промени в аргумента, тогава е удобно да се използват координатни системи с полулогаритмична или логаритмична скала. Полулогаритмична координатна система е правоъгълна координатна система, на едната ос на която е нанесен равномерен мащаб, а на втората - логаритмичен (пропорционален на логаритъма на естествените числа). Полулогаритмичната скала е удобна за изобразяване на зависимости от типа . Като вземем логаритъм на зависимостта, получаваме , където . Аконачертайте стойността x по оста на унифицираната скала и стойността на y по оста на логаритмичната скала, ще получите права линия.
10) Логаритмична координатна система е правоъгълна координатна система, по двете оси на която са нанесени логаритмични скали. Логаритмичните координати са много удобни за изобразяване на зависимост на формата:
.
Като вземем логаритъм на дадената зависимост, получаваме:
.
В логаритмична координатна система такава зависимост ще изглежда като права линия.
Графиката трябва да е визуална и приемлива от естетическа гледна точка (различни цветове за експериментални точки и криви). Построената графика е снабдена с надпис, който дава точно описание на това, което графиката показва. Различни групи от точки или различни криви на графика също трябва да бъдат етикетирани и обяснени в заглавието на графиката.
Обработката на резултатите се свежда до изясняване на аналитичната зависимост между величините. Ако тази зависимост е нелинейна, тогава обработката ще бъде трудна. Но съвременните компютърни програми (MS Excel, Origin и др.) позволяват да се конструират различни видове криви от експериментални точки. Изграждането на аналитична зависимост според експериментални данни най-често се извършва с помощта на метода на най-малките квадрати.
Нека се спрем на случая, когато уравнението има формата на права линия: . Същността на метода е следната: необходимо е да се намерят такива стойности и , при които сумата от квадратите на разстоянията от правата линия до експерименталните точки с координати , ( = 1, 2, 3, …, ) е най-малка. Това е еквивалентно на минималната сума:
.
Условия за минимална сума:
дайте две уравнения за определяне и :
