Приложение на пакета Mathematica за математически изчисления»

Дипломна работа

"Основи на информационните технологии"

Магистър катедра Числени методи

и програмиране на MMF BSU

Даниил Юриевич Дедков

Доктор на физико-математическите науки,

Професор Монастирни Петър Илич

Старши преподавател Павел Павлович Кожич

Съдържание

Списък с обозначения за цялата дипломна работа

DE диференциални уравнения

ИТ информационни технологии

ODE обикновени диференциални уравнения

Резюме на тема "Приложение на пакета Mathematica за математически изчисления"

Днес компютрите поемат огромен дял от изчислителната и аналитична работа на съвременния математик. Следователно днешните изследователи са изправени пред и, най-важното, съвсем други задачи, отколкото преди половин век, изглеждат разрешими.

Благодарение на огромната мощ на компютрите става възможно моделирането и изучаването на сложни и динамични системи, които възникват при изучаването на космоса, търсенето на нови източници на енергия, създаването на нови технически изобретения и много други проблеми, засягащи сферата на научно-техническия прогрес. Решаването на всеки проблем от този вид може да се сведе до следния набор от действия:

математическо моделиране на системата;
изграждане на изчислителен алгоритъм;
събиране и анализ на получените резултати.

Използването на компютърни математически пакети позволява:

разширяване на обхвата на реални приложения;
за визуален анализ, изграждане на графики на сложни функции и повърхности, с помощта на които например се оценяват ODE решения, коитозначително улеснява анализа им;
съчетават професионална насоченост, научност, последователност, нагледност, интерактивност, междупредметни връзки при решаване на ОДУ;
незабавен обмен на информация с лице, с което физическият контакт е невъзможен или трудно осъществим;
обмислете повече задачи, поради намаляването на броя на рутинните трансформации;
изследват по-сложни модели, тъй като тромавите изчисления могат да се извършват с помощта на подходящи компютърни системи;
обръщат повече внимание на качествените аспекти на задачата си.

Това есе е посветено на използването на информационни технологии за математически изчисления на примера на пакета Mathematica версия 5.0. Като пример, за илюстрация, беше избрано програмирането на численото решение на DE от 2-ри ред по метода Runge-Kutta и Nystrom в този пакет и сравнението на получените резултати с аналитичното решение, което е изградено от Mathematica.

Глава 1 Преглед на литературата

Основният литературен източник за изучаване на функционалността на пакета Mathematica, колкото и да е странно, е вградената помощна система. Той е богат на съдържание, визуален, защото демонстрира много примери за ефективно използване на пакета, и удобен, защото предоставя на потребителя лесно търсене и интеграция с текущи работни задачи. Въпреки това е доста трудно да изучавате сами, което, разбира се, е възможно само ако знаете един от езиците за локализация на пакета, без да представяте пълния набор от функции и задачи, с които пакетът може да се справи.

Когато потребителят реши да започне да използва пакета, той се нуждае от набор от минимални общи познания за това как да използва пакетите, как да въвежда данни, как да получаварезултати, каква среда е необходима за стабилна работа на пакета и какви са системните изисквания на самия пакет. Тук си струва да се подчертае работата на V. Z. Aladiev и M. L. Shishkakov [1] относно въвеждането на пакета в околната среда, неговото инсталиране, анализ на основните компоненти, характеристики на употреба и основите на приложението. Също така е необходимо да се подчертае тема 1 и тема 2 от работата на Л. Л. Голубева, А. Е. Малевич, Н. Л. Щеголова [2], които подчертават основните логически компоненти на средата и гарантират ползотворно запознаване с опаковката, както и с такива основни обекти като:

програмиране и функционално програмиране;

Диференциалните уравнения са едни от най-разпространените математически обекти. Способността да ги прилага и решава е това, от което почти всеки математик се нуждае под една или друга форма за ефективна научна дейност. В работата на А. Н. Прокопеня, А. В. Чичурин [3] са разгледани подробно методите за интегриране на диференциални уравнения с помощта на Mathematica за символни изчисления и преобразуване на уравнения във форма, удобна за интегриране.

Работата също така съдържа множество примери, показващи, че при комбиниране на теорията на диференциалните уравнения с възможностите на пакета Mathematica е възможно да се интегрират дори онези уравнения, които не могат да бъдат решени само с помощта на вградените функции на пакета, както и примери за извършване на числени и символни изчисления и визуализиране на математически обекти.

Разбира се, не мога да не спомена класиците на съвременната изчислителна математика А. А. Самарски [4], В. И. Крилов, П. И. Монастирни [5], в чиито трудове много научна информация е съсредоточена върху числените методи за решаване на диференциални уравнения и проблемите, свързани с тях, към които ще по-къснода се обърнем.

Глава 2. Основни характеристики на Mathematica

Малко история за тези, които не са достатъчно запознати със символната изчислителна среда на Mathematica, разглеждана в тази статия.

Тя е разработена от Wolfram Research Inc, основана от известния математик и физик Стефан Волфрам, един от създателите на теорията на сложните системи. Първата версия на програмата, която се появи през 1988 г., се превърна в нова дума в автоматизацията на математическите изчисления.

Mathematica се отличава с обхващането на широк спектър от проблеми, тъй като нейните разработчици са се заели да комбинират всички известни математически методи, използвани за решаване на научни проблеми по единен и последователен начин, включително аналитични и числени изчисления.

За основа е взет специално разработен символен език за програмиране, който може да работи с много широк набор от различни обекти, използвайки малък брой основни структури. Програмата обаче не стана много популярна поради факта, че беше трудна за овладяване и невъзможност за работа без използването на обемна документация. Едва през 1991 г., след пускането на втората версия, в която разработчиците премахнаха много от грешките на предишната версия, както и приложиха по-приятелски интерфейс и включиха съвети за вградени функции, програмата започна бързо да набира популярност. И по времето, когато Mathematica 3.0 беше пусната, вече бяха регистрирани повече от милион редовни потребители на програмата.

Програмата се състои от две части - ядрото, което всъщност извършва изчисления чрез изпълнение на дадени команди, и интерфейсния процесор, който определя външния дизайн и характера на взаимодействие с потребителя и системата. Основният работен документ на програмата е тетрадка, в коятопотребителят записва всички изчисления. Изгледът на работната книга на екрана на монитора зависи от интерфейсния процесор, чиято реализация е малко по-различна за различните платформи.

Потребителският интерфейс на Mathematica 5.0 изглежда малко примитивен в началото: лентата с инструменти е просто лента с менюта, а отделният прозорец на документа изглежда като спрян. Освен това в лентата с инструменти няма бутони за извършване на често повтарящи се операции, които бяха в предишната версия.

Въпреки това, впечатлението за примитивен интерфейс веднага изчезва, когато се окаже, че можете да свържете персонализирани палитри с бутони, от които има повече от дузина в програмата. С тяхна помощ можете да изпълнявате различни функции, а някои от бутоните отговарят на специални знаци. Общо програмата има повече от 700 математически, езикови и други символи. Когато щракнете върху бутоните със символ, последният се прехвърля в работния документ на мястото, посочено от курсора. Други бутони на палитрата съответстват на имената на редица програмни функции, които, когато бъдат избрани, се въвеждат в командния ред. Когато натиснете бутона за алгебрична трансформация, предварително избраният алгебричен израз се трансформира в съответствие с името на избраната команда, например, той се опростява от командата за опростяване.

Програмата ви позволява да прилагате различни стилове, за да проектирате документ на екрана и да го отпечатате, а в новата версия на стиловете може да има много повече, отколкото в предишната. За да ги промените, е предвидена специална палитра.