Проблем с Голдбах
Проблемът на Голдбах(Хипотезата на Голдбах,Проблемът на Ойлер,двоичният проблем на Голдбах) е твърдение, че всяко четно число, започващо от 4, може да бъде представено като сбор от две прости числа.
Проблемът на Голдбах е известен отворен математически проблем; заедно с хипотезата на Риман, той е включен под номер 8 в списъка на проблемите на Хилберт (1900 г.) и е един от малкото проблеми на Хилберт, които все още остават нерешени към 2019 г.
По-слаба версия на предположението —троичният проблем на Голдбах[⇨] , според който всяко нечетно число, започващо от 7, може да бъде представено като сбор от три прости числа, беше доказана през 2013 г. от перуанския математик Харалд Гелфгот. От валидността на формулировката на двоичния проблем на Голдбах очевидно следва валидността на троичния проблем на Голдбах: ако всяко четно число, започващо от 4, е сумата от две прости числа, тогава добавяйки 3 към всяко четно число, можете да получите всички нечетни числа, започвайки от 7.
Съдържание
През 1742 г. математикът Кристиан Голдбах изпраща писмо до Леонхард Ойлер, в което предлага следното:
Всяко нечетно число, по-голямо от 5, може да бъде представено като сбор от три прости числа.
Ойлер се заинтересува от проблема и изложи по-силно предположение:
Всяко четно число, по-голямо от две, може да бъде представено като сбор от две прости числа.
Първото твърдение се наричатроичен проблем на Голдбах, второто се наричадвоичен проблем на Голдбах(илипроблем на Ойлер).
През 30-те години на миналия век съветският математик Лев Шнирелман доказва, че всяко цяло число, по-голямо от единица, може да бъде представено като сбор от не повече от 300 хиляди прости числа [2], впо-нататък резултатът се подобри, до 1995 г. беше възможно да се намали броят на термините до шест.
През 1923 г. математиците Харди и Литълуд показаха, че ако някакво обобщение на хипотезата на Риман е вярно, проблемът на Голдбах е верен за всички достатъчно големи нечетни числа.
През 1937 г. Виноградов представя доказателство, независимо от валидността на хипотезата на Риман, тоест той доказва, че всяко достатъчно голямо нечетно число може да бъде представено като сбор от три прости числа. Самият Виноградов не даде изрична оценка за това „достатъчно голямо число“, но неговият ученик Константин Бороздин доказа, че долната граница не надвишава 3 3 15 ≈ 3,25×10 6 846 168 ≈ 10 6 846 168 . Тоест това число съдържа почти 7 милиона цифри, което прави невъзможно директната проверка на всички по-малки числа.
Впоследствие резултатът на Виноградов беше многократно подобрен, докато през 1989 г. Уанг и Чен понижиха [3] долната граница доee11.503 ≈ 3.33339×10 43 000 ≈ 10 43 000.5 числа.
През 1997 г. Desuiers, Effinger, te Riehl и Zinoviev показаха [4], че обобщената хипотеза на Риман предполага валидността на троичния проблем на Голдбах. Те доказаха валидността му за числа, по-големи от 10 20, докато валидността на твърдението за по-малки числа се установява лесно на компютър.
През 2013 г. тройната хипотеза на Голдбах беше окончателно доказана от Харалд Гелфгот [5] [6] [7] [8] .
Двоичният проблем на Голдбах все още е далеч от своето решение.
Виноградов през 1937 г. и Теодор Естерман през 1938 г. показват, че почти всички четни числа могат да бъдат представени като сбор от две прости числа. Този резултат е леко подобрен през 1975 г. от Хю Монтгомъри.Монтгомъри ) и Боб Вон), те показаха, че има положителни константиcиC, така че броят на четните числа не по-големи отN, които не могат да бъдат представени като сбор от две прости числа, не превишава C N 1 − c > .
През 1930 г. Шнирелман доказва, че всяко цяло число може да бъде представено като сбор от най-много 800 000 прости числа. [9] Този резултат е подобряван многократно, така че през 1995 г. Оливие Рамаре доказва, че всяко четно число е сбор от най-много 6 прости числа.
От валидността на тройната хипотеза на Голдбах (доказана през 2013 г.) следва, че всяко четно число е сбор от най-много 4 прости числа.
През 1966 г. Чен Джингрун доказва, че всяко достатъчно голямо четно число може да бъде представено или като сбор от две прости числа, или като сбор от просто и полупросто число (продукт на две прости числа). Например 100 = 23 + 7 11.
Ако бинарната хипотеза на Голдбах е грешна, тогава има алгоритъм, който рано или късно ще открие нейното нарушение.
Бинарната хипотеза на Голдбах може да бъде преформулирана като твърдение за неразрешимостта на Диофантово уравнение от 4-та степен от някакъв специален вид [11] [12] .