Променливи неравенства

Нека f(x) и g(x) са два израза с променлива x и област X. Тогава неравенство от формата f(x)>g(x) или f(x) неравенство с една променлива. Множеството на X се нарича негов домейн на дефиниция.

Решаването на неравенство означава намирането на множество решения за него.

Две неравенства се наричат еквивалентни, ако техните набори от решения са равни.

Неравенствата 2x+7>10 и 2x>3 са еквивалентни, т.к. техните набори от решения са равни и представляват интервала (2/3;∞)

Теорема 1 за еквивалентни неравенства.

Теорема.

Нека неравенството f(x)>g(x) е дадено на множеството X и h(x) е израз, дефиниран на същото множество. Тогава неравенствата f(x)>g(x)(1) и f(x)+ h(x)>g(x)+ h(x)(2) са еквивалентни на множество X.

Док. 1) Т1⊂Т2; 2) Т2⊂Т1; 3) T1=T2

Документация.

Нека T1 е множеството от решения на неравенство (1), а T2 е множеството от решения на неравенство (2). Тогава неравенствата (1) и (2) ще бъдат еквивалентни, ако Т1=Т2.

-Нека числото a е коренът на неравенството (1). Тогава a ∈T1 и при заместване в неравенство (1) го превръща в истинско числено неравенство f(a)>g(a), а изразът h(x) го превръща в числов израз h(a). Нека добавим към двете части на истинското неравенство f(a)>g(a) числовия израз h(a). Получаваме, съгласно правилата на истинските числени неравенства, истинското числово неравенство f (a) + h (a) > g (a) + h (a), което показва, че числото a е коренът на неравенството (2). Доказано е, че всеки корен на неравенство (1) е и корен на неравенство (2), т.е. Т1⊂Т2.

-Нека числото a е коренът на неравенството (2). Тогава a ∈ T2 и, когато се замести в неравенство (2), го превръща в истинско числово неравенство f(a)+h(a)>g(a)+h(a). Нека добавимкъм двете части на това равенство, числовият израз -h (a). Получаваме истинското числено неравенство f(a)>g(a), което показва, че числото a е коренът на неравенството (1). Доказано е, че всеки корен на неравенство (2) е и корен на неравенство (1), т.е. Т2⊂Т1

Тъй като T1⊂T2 и T2⊂T1, тогава по дефиниция е равно на mn-in T1=T2, което означава, че неравенствата (1) и (2) са еквивалентни, което беше необходимо да се докаже.

Последствия:

-Ако добавим едно и също число d към двете части на неравенството f(x)>g(x), тогава получаваме неравенството f(x)+d>g(x)+d, което е еквивалентно на първоначалното;

-Ако някой член (числов израз или израз с променлива) се прехвърли от една част на неравенството в друга, променяйки знака на члена на противоположния, тогава получаваме неравенство, еквивалентно на даденото.

Теорема 2 за еквивалентни неравенства.

Теорема.

Нека неравенството f(x)>g(x) е дадено на множество X и h(x) е израз, дефиниран на същото множество, и за всички x от множество X изразът h(x) приема положителни стойности. Тогава неравенствата f(x)>g(x)(1) и f(x)* h(x)>g(x)* h(x)(2) са еквивалентни на множество X.

Документ.1) Т1⊂Т2; 2) Т2⊂Т1; 3) T1=T2

Документация.

-Нека числото a е коренът на неравенството (1). Тогава a ∈T1 и при заместване в неравенство (1), то го превръща в истинско числово неравенство f(a)>g(a), а изразът h(x) го превръща в числов израз h(a), за h>0. Умножете двете части на истинското неравенство f(a)>g(a) по числовия израз h(a). Получаваме, съгласно правилата на истинските числени неравенства, истинското числено неравенство f (a) * h (a) > g (a) * h (a), което показва, чечислото a е коренът на неравенството (2). Доказано е, че всеки корен на неравенство (1) е и корен на неравенство (2), т.е. Т1⊂Т2.

-Нека числото a е коренът на неравенството (2). Тогава a ∈ T2 и, когато се замести в неравенство (2), го превръща в истинско числово неравенство f(a)*h(a)>g(a)*h(a). Нека разделим двете части на това неравенство на числовия израз h(a), h>0. Получаваме истинското числено неравенство f(a)>g(a), което показва, че числото a е коренът на неравенството (1). Доказано е, че всеки корен на неравенство (2) е и корен на неравенство (1), т.е. Т2⊂Т1

Теорема 3 за еквивалентните неравенства.

Теорема.

Нека неравенството f(x)>g(x) е дадено на множество X и h(x) е израз, дефиниран на същото множество, и за всички x от множество X изразът h(x) приема отрицателни стойности. Тогава неравенствата f(x)>g(x)(1) и f(x)* h(x)

Док. 1) Т1⊂Т2; 2) Т2⊂Т1; 3) T1=T2

Документация.

-h(a). Получаваме, според правилата на истинските числени неравенства, истинското числено неравенство f (a) * h (a)

-Нека числото a е коренът на неравенството (2). Тогава a ∈ T2 и при заместване в неравенство (2) го превръща в истинско числено неравенство f(а)*h(а)g(a), което показва, че числото a е кореннеравенства (1). Доказано е, че всеки корен на неравенство (2) е и корен на неравенство (1), т.е. Т2⊂Т1