Разгледайте интегрируемите хамилтонови системи
Нека разгледаме интегрируема Хамилтонова система v - sgrad H върху M4 и моментна карта T: M4 - y X2. Позволявам ? е бифуркационна диаграма и y G W2 е произволна правилна точка в изображението на моментната карта. Ако неговият пълен обратен образ е компактен, тогава той се състои от някакъв брой тори на Лиувил. Чрез преместване на точка y по протежение на равнината, ние караме тези тори по някакъв начин да се движат вътре в M4. Докато точката y остава правилна, торите на Лиувил се деформират от гладка изотопия. Но в момента, когато точката y срещне бифуркационната диаграма a и я пресече, торите на Лиувил, най-общо казано, претърпяват нетривиално пренареждане. Възниква въпросът: как да опишем типичните бифуркации на торите на Лиувил? Глава 3
По правило бифуркационната диаграма се състои от късово-гладки дъги и разделя равнината X2 E на отворени области с правилни стойности, които по-горе нарекохме камери. Типична бифуркация възниква, когато движеща се точка y пресича една от тези дъги напречно във вътрешна точка y*, преминавайки от една камера в друга (фиг. 3.25).
За да обясним какъв вид бифуркации ни интересуват сега, разгледайте движението на точка по равнината X2 като параметризирана крива y(t), свързваща точките y0 и y\ от различни камери и периферия. 3.25
бифуркационна диаграма, която пресича напречно в точката y*.
Да предположим, че прообразът на кривата y(t) (фиг. 3.25) е компактен в M4. Освен това да предположим, че гладката дъга на бифуркационната диаграма a, върху която лежи точката y*, съответства в M само на недегенерирани критични точки, при които рангът на картата на момента пада точно с единица. Това условие е изпълнено за повечето интегрируеми хамилтонови системи, известни днес. Да наречем такивабифуркациите на торите на Лиувил са неизродени. Те са стабилни в смисъл, че бифуркационният тип на торите на Лиувил не се променя с малко смущение на кривата y(t).
Ние твърдим, че всички подобни бифуркации на торите на Лиувил се описват точно от 3-атома. Това означава, че има едно-към-едно съответствие между набора от всички 3-атома и типовете неизродени бифуркации на торите на Лиувил.
Нека обясним това твърдение. Разгледайте обратния образ на кривата y(t) в M4. Това е гладко 3-многообразие с граница, което може да бъде представено като еднопараметърно семейство от инвариантни (най-общо казано, несвързани) подмногообразия, които изпитват бифуркация при някаква стойност на параметъра. Това 3-многообразие може да се интерпретира като 3-атомен U(L). Параметърът t трябва да се приеме като функция / върху него. Нещо повече, L (особеното влакно на фолиацията на Лиувил) е обратният образ на точката y* под картата на импулса. Фактът, че операцията на торите на Лиувил е неизродена, тук е еквивалентен на факта, че / е функция на Бот върху U(L).
3.8. Молекули на интегрируема система
Нека Q3 е компактна неособена изоенергийна 3-повърхнина на интегрируема система v = sgrad H и нека / е вторият независим интеграл.
По-нататък в цялата книга ще разглеждаме интегрируеми системи, които отговарят на следните природни условия.
1) Изоенергетична 3-повърхнина Q е компактна и неособена.
2) Системата v = sgrad H е нерезонансна на Q. 174
Груба еквивалентност на интегрируеми системи
3) Системата v има интеграл на Бот / върху Q.
4) Системата v е топологично стабилна върху Q.
В допълнение към тези условия, ние временно приемаме, че интегралът / няма критични бутилки на Клайн, а критичните тори (ако съществуват) сада се разглеждат като неединични. Конструкцията, която ни позволява да включим бутилките Klein в тази теория, ще бъде описана в следващата глава.
Сега концепцията за молекула може да бъде въведена по два начина.
Първи начин. Разгледайте фолиацията на Лиувил върху Q. Първо, ние конструираме аналог на графиката на Reeb. За да направите това, помислете за основата на фолиацията на Лиувил, т.е. частното пространство Q/p, където p е естествена релация на еквивалентност, идентифицираща точки, лежащи върху едно и също влакно на фолиацията на Лиувил. Оказва се някаква графика. Неговите върхове очевидно съответстват на сингулярни влакна от фолиацията на Лиувил. А ръбовете на графиката представляват еднопараметрични семейства от тори на Лиувил (несъдържащи бифуркации).
От горното се вижда, че всеки връх на графиката съответства едно към едно на някакъв 3-атом, т.е. известно пренареждане (бифуркация) на торите на Лиувил. Следователно можем да дадем на всеки връх на графиката символа, съответстващ на този 3-атом (или 2-атом, което е същото поради теорема 3.4). Удобно е да се използват символите, дадени в таблицата на атомите 3.1 (виж по-горе). По-формално, ние свързваме всеки връх на графиката със съответния 2-атом.
Резултатът е граф, чиито върхове са 2-атома. Спомнете си, че 2-атомът е двумерна повърхност P с граница. Както в предишната глава, когато говорим за факта, че всеки връх на графиката съответства на 2-атом, ние допълнително имаме предвид, че граничните кръгове на повърхността P са в естествено взаимно съответствие с краищата на ръбовете на графиката, съседни на този връх. Предполагаме, че за всеки връх на графа е фиксирано такова съответствие (между ребра и гранични окръжности). Предишна 74 75 76 77 78 79 .. 193 >> Следващ