Решетъчен изоморфизъм, подрешетки и идеали, ръчна математика

Любителска математика - направи си сам

Дефиниции

Две решетки и са изоморфни, ако съществува едно-към-едно съответствие, така че

Подмножество на решетка се нарича подрешетка, ако е затворено за операциите и .

Подмножество на решетка се нарича долен сегмент, ако удовлетворява свойството

Непразен долен сегмент на решетката се нарича идеал, ако е затворен при операцията .

Теорема за изоморфизъм

Въпреки факта, че всички дефиниции са напълно стандартни, решетъчните изоморфизми имат някои доста добри свойства. Ще приемем, че отношенията на частичен ред са дадени върху решетките по обичайния начин. Преобразуване на две частично подредени множества се нарича монотонно, ако запазва реда между елементите. Сега самата формулировка:

Теорема. Биекция между решетки и е изоморфизъм тогава и само ако и са монотонни преобразувания.

Доказателство.

Нека биекцията е изоморфизъм. Тогава, ако , Тогава, по дефиницията на връзката на реда, , И следователно . По същия начин от получаваме .
Нека и са монотонни преобразувания. Тогава и , и следователно , т.е. е долната граница на . Да предположим, че тази долна граница не е точна, т.е. съществува някои , Тогава, поради монотонността на , , Откъдето и , Това е, и следователно . По подобен начин се доказва, че , което завършва доказателството, че е изоморфизъм.

Друга дефиниция на долния сегмент

Дефиницията на долния сегмент, дадена по-горе, изглежда като дефиниция на "недо-идеален" и името "долен сегмент" изглежда неоправдано. Всъщност, ако е долният сегмент на решетката , и , тогава , и следователно . Тоест долния сегментзаедно с който и да е от нейните елементи съдържа всички елементи на решетката по-малко от него. Обратно, ако някакво подмножество на решетката съдържа, заедно с всеки от нейните елементи, който и да е от нейните по-малки елементи, тогава ние вземаме всеки и разглеждаме , тогава , тоест е долният сегмент на решетката в нашата дефиниция.

Решетка на долния сегмент

Долните сегменти могат да бъдат разграничени не само в решетки, но и в произволни частично подредени множества. Ако вземем два долни сегмента от някакъв частично подреден набор , тогава ако и , тогава или (тогава ) или (тогава отново ). Ако, тогава, което означава. От друга страна, което означава обща сума, . Оказва се, че пресечната точка и обединението на двата долни сегмента е долният сегмент. От свойствата на обединение и пресичане заключаваме, че множеството от всички долни сегменти на произволно частично подредено множество образува решетка.

Между другото, формално празният набор също е долният сегмент. Множеството от всички непразни долни сегменти на частично подредено множество се обозначава и е решетка, ако има най-малък елемент в (в този случай всеки непразен долен сегмент ще съдържа най-малкия елемент и пресечната точка на два непразни долни сегмента също ще бъде непразно).

Основни идеали

Основният идеал на решетката, генериран от елемента, се нарича множество. Очевидно това е най-ниският сегмент. Действително, ако , a , тогава , това е . Също така, ако , Тогава и , Това е . Освен това . Това означава, че основният идеал в нашата дефиниция наистина е идеал. Освен това може да се дефинира главният идеал по алгебричен начин. Всеки елемент от основния идеал има свойството , и следователно . Означава, че .

Решетка от идеали

Ако вземем два идеала, тогава тяхното пресичане също еочевидно е идеал (доказателството, че е затворен при операции е толкова скучно, колкото и за по-ниските сегменти). Пресечната точка на два идеала не е празна, защото , , което означава, че .

Като цяло е съвсем очевидно, че наборът от идеали, подреден от теоретико-множественото включване, е решетка, въпреки че като цяло втората операция (не пресичане) изглежда като нещо доста епично.

Подрешетка на главните идеали

За главните идеали операциите в решетката на всички идеали могат да бъдат изразени по много прост начин чрез операции върху генератори.

Да разгледаме два основни идеала и и някакъв елемент, принадлежащ на тяхното пресичане. Тогава от едната страна, а от другата, тогава. Обратно, ако , Тогава , Това е и и по същия начин . Това доказва, че.

Сега помислете за някакъв елемент, принадлежащ на . Нека , тогава , и следователно . По същия начин, ако , тогава . Това означава, че идеалът е горната граница (чрез отношението на вграждане на множества) на двойката. Нека докажем, че тази граница е точна. Нека и да бъде идеал. Тогава по-специално. Въпреки това, ако , тогава , откъдето веднага , и . Тоест идеалът е най-малката горна граница на двойката.

По този начин главните идеали образуват подрешетка в решетката на всички идеали. И нещо повече, което е най-любопитно, решетката на главните идеали е изоморфна на оригиналната решетка ( ).