Резюме Интерполация на функции - Банка от резюмета, есета, доклади, курсови работи и дипломни работи
Интерполация на Айткен
Интерполационни формули на Нютон за равноотдалечени възли
Формулата на разделената разлика на Нютон
Цел на работата: изследване и сравнителен анализ на методите за интерполация на функции; прилагане на тези методи под формата на машинни програми на език от високо ниво и практическо решаване на проблеми с интерполация на компютър.
При разработването на CAD софтуер често се налага да се работи с функции f(x), дадени под формата на таблици, когато е известен краен набор от стойности на аргументи и съответните стойности на функциите. В този случай аналитичният израз на функцията f(x) е неизвестен, което не позволява да се определят нейните стойности в междинни точки на аргумента, които не са в таблицата. В този случай се решава проблемът с интерполацията, който се формулира по следния начин.
На интервала [a, b] има n + 1 точки x0, x1, . xn, които се наричат интерполационни възли, и стойностите на някаква функция f(x) в тези точки f(x0)=y0, f(x1)=y1, . f(xn)=yn. Изисква се да се конструира интерполираща функция F(x), която приема същите стойности в интерполационните възли като f(x), т.е. така че F(x0)=y0, F(x1)=y1, . F(xn)=yn.
Геометрично това означава, че трябва да намерите крива y = F(x) от определен тип, минаваща през дадена система от точки Mi(xi, yi) за i = . Формулата за интерполация y = F(x), получена по този начин, обикновено се използва за изчисляване на стойностите на оригиналната функция f(x) за стойности на аргумента x, различни от интерполационните възли. Такава операция се нарича интерполация на функцията f(x). В същото време се разграничава интерполация в тесен смисъл, когато x принадлежи към интервала [x0, xn], и екстраполация, когато x не принадлежи към този интервал.интервал.
В такава обща формулировка интерполационният проблем може да има безкраен брой решения. За да се получи уникална функция F(x), е необходимо да се приеме, че тази функция не е произволна, а отговаря на някои допълнителни условия.
В най-простия случай се приема, че зависимостта y = f(x) от всеки интервал (xi, xi+1) е линейна. Тогава за всяко сечение (xi, xi+1) като интерполационна формула y = F(x) се използва уравнението на права линия, минаваща през точките Mi(xi, yi) и Mi+1(xi+1, yi+1), което има формата
.(1)
При програмиране на процедури за линейна интерполация трябва да се има предвид, че процесът на решаване на проблема с интерполацията с помощта на формула (1) включва два етапа: избор на интервала (xi, xi + 1), към който принадлежи стойността на аргумента x; действително изчисляване на стойността y = F(x) по формула (1).
На практика алгебричният полином обикновено се използва като интерполираща функция F(x)
степен най-много n, така че Pn(x0) = y0, Pn(x1) = y1, . Pn(xn) = yn. Най-известните методи за конструиране на интерполационния полином Pn(x) са методът на Лагранж, итеративният и диференциалният метод.
1. Формула на Лагранж
Интерполационната формула на Лагранж осигурява конструирането на алгебричен полином Pn(x) за произволно дадени интерполационни възли. За n + 1 различни стойности на аргумента x0, x1, . xn и съответните стойности на функцията f(x0)=y0, f(x1)=y1, . f(xn)=yn интерполационната формула на Лагранж има формата
,
където x е стойността на аргумента на функцията, разположен в интервала [x0, xn].
Трябва да се отбележи, че формулата на Лагранж, за разлика от други интерполационни формули, изрично съдържа yi (i=), коетопонякога е важно.
Пример 1.Конструирайте интерполационния полином на Лагранж за функцията, дадена от следната таблица.