Sapunov_Prikladnaya_teoriya_uprugosti8 - Страница 12
3. Вариационни принципи и енергийни методи в теорията на еластичността
3.1. Общи и частни вариационни принципи и теореми на теорията на еластичността
Предмет на вариационното смятане е търсенето на
известни функции f i ( x , y , z ) , i = 1, 2, . n реализиране на макси-
мама (минимална) или стационарна стойност на функционала (определен интеграл), имаща например формата:
E = ∫ F [ f 1 ( x , y , z ) , f 2 ( x , y , z ) , . f n (x, y, z);
f 1 ′ ( x , y , z ) , f 2 ′ ( x , y , z ) , . f n ′ (x, y, z); x, y, z] dV 0.
Спомнете си, че предметът на диференциалното смятане е
търсенето на неизвестни стойности на независими променливи x, y, z, реализиращи максималната (минимална) или стационарна стойност
стойност на дадената функция.
Ако всички функции f i ( x , y , z ), включени във функционала, са независими една от друга, тогава вариационният проблем се нарича свободен,
и функционалността е пълна.
В несвободен вариационен проблем съществуват зависимости между вариращите функции (уравнения на връзката или допълнителни условия), които трябва да бъдат удовлетворени предварително, преди функционалът да се променя.
Условията, при които функционалът има стационарна стойност (максимум, минимум), се наричат уравнения на Ойлер и естествени (Ойлерови) гранични условия. Функционалът има стационарна точка, ако вариацията на функционала върху всички независими функции е равна на нула, т.е. δ E \u003d 0. Въпросът за наличието на локален екстремум (максимум, минимум) се решава със знака
втора вариация δ 2 Oe.
Формата на уравненията на Ойлер зависи от формата на математическата реализация на стационарната стойност на функционала: аналитична,
числово илисмесен. В аналитичната форма на прилагане на стационарната стойност на функционала уравненията на Ойлер като правило са диференциални уравнения с естествени гранични условия.
Общ вариационен принцип на линейната теория на еластичността.
Спомнете си, че системата от уравнения и гранични условия на линейната теория на еластичността има формата:
− диференциални равновесни уравнения (статични уравнения)
− Зависимости на Коши (геометрични уравнения)
− обобщен закон на Хук (физични уравнения)
− статични гранични условия на частта Σ 1 от повърхността на тялото
= σ x l + τ yx m + τ zx n,
= τ xy l + σ y m + τ zy n,
= τ xz l + τ yz m +σ z n ;
− геометрични гранични условия на частта Σ 2 от повърхността на тялото
Пълният функционал на линейната теория на еластичността трябва да включва всички компоненти на напрежения, деформации и премествания, които трябва да се разглеждат като независими функции:
E = E ( u , v , w ; σ x , σ y , . . . , τ zx ; ε x , ε y , .. ., γ zx ).
Специфично представяне на пълния функционал на линейната теория на еластичността, като се вземе предвид горната система от съставни уравнения и гранични условия, може да се намери в научната литература.
Общият вариационен принцип на линейната теория на еластичността се формулира, както следва:
истинските полета на напрежение, деформация и изместване са такива, че пълният функционал има стационарна стойност.
Обща вариационна теорема
За вариационното уравнение δ E = 0, където E е пълният функционал на линейната теория на еластичността, уравненията на Ойлер и естествените гранични условия са набор от статични, геометрични и физически уравнения на теорията на еластичността (3.2) − (3.4) и съответните гранични условия (3.5) и (3.6).
С други думи, общата вариационна теорема гласи, че пълният функционал съдържа, в необходима и достатъчна степен,
цялата информация за теорията на еластичността, така че решаването на проблемите да не изисква използването на допълнителни условия (уравнения), различни от тези, които се съдържат в пълния функционал.
От пълния функционал на линейната теория на еластичността могат да се получат различни частични функционали и по този начин да се премине от свободна вариационна задача към несвободна с допълнителни условия. Като допълнителни условия се приемат съотношения от уравненията на Ойлер и естествени гранични условия, реализиращи стационарната стойност на пълния функционал. Изпълнявайки допълнителните условия предварително (преди вариацията) и изключвайки с тяхна помощ зависимата част от функционалните аргументи от пълния функционал, получаваме съответния конкретен функционал.
Конкретният вариационен принцип на линейната теория на еластичността е формулиран, както следва:
От всички възможни полета на напрежения, деформации и премествания на еластично тяло, които отговарят на допълнителни условия, в действителност има само тези полета, които дават стационарна стойност на определен функционал.
Частна вариационна теорема
За вариационното уравнение δ E k = 0 ( k = 1, 2, . ) с някои допълнителни условия, където E k е частичен функционал
линейна теория на еластичността , уравненията на Ойлер са тези уравнения и естествени гранични условия , които заедно със споменатите допълнителни условия съставляват пълен набор от уравнения и гранични условия на теорията на еластичността , т.е. Уравнения на Ойлер и гранични условия за пълното вариационно уравнение.
От горната формулировка следва, че формулирането на проблемите на теорията на еластичността въз основа на пълното ичастични вариационни уравнения.
Нека дадем някои конкретни вариационни принципи като примери.
Вариационният принцип на преместванията (принципът на Лагранд)
Госпожица.). Ако приемем като допълнителни условия геометрията
(3.3) и физически (3.4) уравнения, както и геометрични гранични условия (3.6) върху част от повърхността Σ 2 , след това частната
функционалът на линейната теория на еластичността ще се определя само от премествания: E = E ( u , v , w ) . В този случай възможните функции
премествания са тези, които отговарят на посочените допълнителни условия (уравнения на връзката). И от всички възможни премествания ще бъдат валидни тези, за които е изпълнено вариационното уравнение δ E ( u , v , w ) = 0.
Уравненията на Ойлер за функционала E = E ( u , v , w ) са статичните уравнения (3.2) в площта, заета от тялото, и граничните условия (3.5) на част от повърхността Σ 1 .
Вариационният принцип за напреженията (кастилският принцип)
аз но). Ако вземем статични (3.2) и физически (3.4) уравнения като допълнителни условия, както и статични гранични условия (3.5) върху част от повърхността Σ 1 , тогава конкретната функция
линейната теория на еластичността ще се определя само от напреженията: E = E ( σ x , σ y , . , τ zx ) . От всички възможни полета на-
напрежения, които удовлетворяват посочените допълнителни условия (уравнения на свързване), ще бъдат валидни онези, при които вариационното уравнение δ E ( σ x , σ y , . , τ zx ) = 0 е удовлетворено.
Уравненията на Ойлер за функционала E = E ( σ x , σ y , . , τ zx )
са геометричните уравнения в напреженията и граничните условия (3.6) върху част от повърхността Σ 2 .
Вариационен принцип на Райснер. Ако, като доп
условия за приемане на физическите уравнения (3.4), тогава конкретният функционал на линейната теория на еластичността ще се определя както от напрежения, така и от премествания: E = E ( u , v , w ; σ x , σ y , . , τ zx ) е смесен функционал.
Вариационно уравнение δ E ( u, v, w; σ x, σ y, . , τ zx ) = 0 еквив.
валентност към системата от статични (3.2), геометрични уравнения на напреженията и гранични условия (3.5) и (3.6) върху площите на повърхността на тялото Σ 1 и Σ 2, съответно.
От математическа гледна точка система от пълни и частни функционали може да се разглежда като израз на общата идея за разделяне на сложна система на елементи: разлагането се реализира в избора на някои допълнителни условия и съответния конкретен функционал. Така, например, ако вземем статични, геометрични и физически уравнения (3.2) − (3.4) като допълнителни условия, стигаме до функционала на граничните условия. Всеки от функционалите може да бъде свързан с един или повече методи за избор на апроксимиращи функции за решаване на гранични проблеми на теорията на еластичността. По правило апроксимиращите функции се избират така, че допълнителните условия да са изпълнени точно, а параметрите на избраните функции се определят от условията за изпълнение на стационарната стойност на съответния функционал.
В момента най-използвани са методите на Rayleigh-Ritz, Bubnov-Galerkin, Treffts и числените методи.
3.2. Принцип на възможни работи
В раздел 3.1 се разглеждат общи и частни вариационни принципи и теореми на линейната теория на еластичността от гледна точка на вариационното смятане. Въпреки това, за да се конструират частични функционали на теорията на еластичността и, съответно, да се прилагат частични вариационни принципи, е по-удобно (и по-просто) да се използва подход, основан напринцип на възможните произведения, формулиран от И. Бернули (1717).
Да разгледаме материална точка, върху която действа сила P.
Да приемем, че точката получава възможно изместване δ r в посока r, сключваща ъгъл θ с посоката на силата P . Работата на силата P върху възможно преместване (възможна работа) ще бъде равна на
δ A = P δ r cos θ = P r δ r ,
където P r е проекцията на силата върху посоката r .
Ако материалната точка е в равновесие под действието на силите P i ( i = 1, 2, . n ), общата (общата) възможна работа ще бъде оп-