Сесия 65
Довбиш С. А. Оптимална метрика на Ляпунов на хомеоморфизми с хиперболична структура.
Нека е хомеоморфизъм на компактно метрично пространство с метрика, локални (с радиус) стабилни и нестабилни точки на „многообразие“ се дефинират като
Определение. Хомеоморфизмът има хиперболична структура (HS) и метрика се нарича хиперболична, ако съществуват и такива, че
в ( ). Една метрика се нарича метрика на Ляпунов, ако .
Нека и са точни инфимуми за константи, така че неравенствата (1) са изпълнени за подходящи, които се отнасят съответно за стабилни и нестабилни многообразия. Константите и не се променят при избора на по-малък радиус на локалните колектори.
K. Sakai доказа (Sakai K. Topology and Appl. 1995. V. 63, no. 3. P. 263--266; 2001. V. 112, no. 3. P. 229--243), че хомеоморфизъм с HS има метрика на Ляпунов, еквивалентна на оригиналната (т.е. дефинираща същата топология) и тази метрика може да бъде избрани така, че и двете преобразувания и са липшицови по отношение на него. Следващата теорема потвърждава съществуването на оптимална метрика на Ляпунов.
Теорема. Нека хомеоморфизмът има HS и , . Тогава Ляпунов метрика може да бъде избран така, че (и, съответно, ) равномерно по всички такива, че (съответно, ) за или, което е еквивалентно, за . Освен това, картографирането (съответно, ) ще бъде Липшицово по отношение на константата (съответно, ), ако ( ).
В случая, когато хомеоморфизмът допълнително има структура на локален продукт, т.е. удовлетворява аксиомата (виж В. М. Алексеев, Символична динамика // Единадесета математическа школа. Киев: Инст.съответстващи на каноничните координати и малки части от „колекторите“ (гледани при подходящо увеличение) са приблизително „плоски“ подмножества в известен смисъл.