Спинорно смятане Енциклопедия TSB
Значението на думата "Spin Calculus"
Спинорно смятане, математическа теория, която изучава количества от специален вид —спинори. Когато се изучават физическите величини, те обикновено се отнасят към една или друга координатна система. В зависимост от закона за трансформация на тези величини по време на прехода от една координатна система към друга се разграничават количества от различни видове (тензори, псевдотензори). При изучаване на явлениетоспинна електрона беше установено, че има физически величини, които не принадлежат към известни преди това типове (например тези величини могат да бъдат определени само до знак, тъй като когато координатната система се завърти с 2 p около някаква ос, всички компоненти на тези величини променят знака). Такива величини са разгледани още през 1913 г. от Е.Картанв неговите изследвания върху теорията на груповите представяния и преоткрити през 1929 г. от Б. Л.Уордънвъв връзка с изследвания върху квантовата механика. Той нарече тези величини спинори.
Спинорите от първата валентност са дадени от две комплексни числа ( x 1 , x 2 ) и за разлика например от тензори, за които различни колекции от числа дефинират различни тензори, за спинорите се смята, че колекциите ( x 1 , x 2 ) и (- x 1 , - x 2 ) определят един и същ спинор. Това се обяснява със закона за трансформация на спинорите по време на прехода от една координатна система към друга. При завъртане на координатната система на ъгъл q около оста с насочващи косинуси cos c 1, cos c 2, cos c 3 компонентите на спинора се трансформират по формулите
б , , ,
, , , .
По-специално, когато координатната система се завърти на ъгъл 2 p, връщайки я в първоначалното й положение, компонентите на спинора променят знака, което обяснява идентичността на спинорите ( x 1 , x 2 ) и (- x 1 , - x 2 ). Пример за спинорно количествоМоже да служивълнова функцияна частица със спин 1/2 (например електрон).
В този случай матрицата еунитарна матрица.
Спинорите също включват величини, чиито компоненти са комплексно спрегнати с компонентите на спинора ( x 1 , x 2 ). Трансформационната матрица на тези величини има формата .
Нека Oxyz и 0'x'y'z' са две координатни системи с успоредни оси и O'x'y'z' се движи спрямо Oxyz със скорост v = cth q (където c е скоростта на светлината) в посока, образуваща ъгли c 1, c 2, c 3 с координатните оси.
..
б , , ,
, , , .
Ако трансформациите на Лоренц се разглеждат за случая, когато координатните оси не са успоредни, тогава матрицата на трансформация на спинорните компоненти може да бъде всяка комплексна матрица от втори ред, чийто детерминант е равен на единица, т.е. унимодуларна матрица.
Заедно с контравариантните компоненти x 1 , x 2 на спинора, въведени по-горе, могат да се въведат ковариантни компоненти x 1 , x 2 чрез настройка , където (както винаги, сумирането се извършва върху повтарящи се индекси). С други думи, x 2 \u003d x 1, x 1 \u003d - x 2. Ковариантните компоненти се трансформират от матрицата. При ротации тази матрица съвпада с матрицата s, т.е. при ротации ковариантните компоненти на спинора се трансформират като компоненти на комплексно спрегнатия спинор.
Спинорната алгебра се конструира подобно на обикновената тензорна алгебра (вижТензорно смятане). Спинор с валентност r (или спинтензор) е набор от 2 r комплексни числа, дефинирани до знак, който при преместване от една координатна система в друга се трансформира като произведение на r компоненти на спинори от първа валентност, т.е.д. как. По подобен начин се дефинират комплексно спрегнат спинор с валентност r, смесен спинор, спинор с ковариантни компоненти и т. н. Добавянето на спинори и умножението на спинор по скалар се дефинират координатно. Продуктът на два спинора е спинор, чиито компоненти са произведенията по двойки на компонентите на факторите. Например от спинорите на втора и трета валентност и е възможно да се образува спинор на пета валентност. Конволюцията на спинор по отношение на индексите l 1 и l 2 се нарича спинор
.
Спинорската алгебра често използва идентичностите
,
.
Важна роля в квантовата механика играе изучаването на системи от линейни диференциални уравнения, свързващи величини от типа на спинора, които остават инвариантни при унимодулни трансформации, тъй като само такива системи от уравнения са релативистично инвариантни. Най-важните приложения на спинорния анализ са към теорията на уравненията на Максуел и Дирак. Записването на тези уравнения в спинорна форма позволява незабавно да се установи тяхната релативистична инвариантност, да се установи естеството на трансформацията на количествата, включени в тях. Алгебрата на Спинор също намира приложения в квантовата теория на химическата валентност. Теорията на спинорите в пространствата с по-висока размерност е свързана с представяне на ротационни групи на многомерни пространства. S. i. свързано и с някои въпроси на неевклидовата геометрия.
Лит .: Румер Ю. Б., Спинорен анализ, М. - Л., 1936; Картан Е., Теория на спинорите, прев. от френски, Москва, 1947 г.; Ландау Л., Лифшиц Е., Квантова механика, част 1, М. - Л., 1948 (Теоретична физика, том 5, част 1); Рашевски П. К., Риманова геометрия и тензорен анализ, 3 изд., М., 1967; собствен, Теория на спинорите, Успехи математических наук, 1955, т. 10, c. 2 (64).
Велика съветска енциклопедия М.: „Съветскиенциклопедия“, 1969-1978
Прочетете също в TSB:
СпусъкСпусък (Balistidae), семейство риби от разред трептящи челюсти. Тялото е високо, странично сплескано, с дължина до 60 см. Люспите са едри, костеливи, застъпващи се. Първи шип на предната гръбначна pl.
Спин-спин взаимодействиеСпин-спин взаимодействие, взаимодействие между спинови магнитни моменти на микрочастици (виж Спин). Това взаимодействие е релативистичен ефект (то съдържа фактора 1/c2.
СпиралиСпирали (френски, единствено число spirale, от латински spira, гръцки speira - намотка), плоски извити линии, които обикалят определена точка безброй пъти, като се приближават с всеки кръг.