спорадична група

Проста група е групаG, която не съдържа никакви нормални подгрупи освен самата групаGи тривиалната (единствена) подгрупа. Класификационната теорема гласи, че списъкът с крайни прости групи [en] се състои от 18 изброими безкрайни семейства плюс 26 изключения, които не попадат в тази класификация. Тези изключения се наричат ​​спорадични групи. Те са известни също като "спорадични прости групи" или "спорадични крайни групи". Тъй като групата на Титс не е строго група от тип Лъжа, понякога се счита и за спорадична [1] и в този случай е 27-та спорадична група.

Групата Чудовища е най-голямата от спорадичните групи и съдържа като подгрупи или подфакторни групи [en] всички други спорадични групи освен шест.

Съдържание

Пет спорадични групи са открити от Матийо през 1860 г., останалите 21 са открити между 1965 и 1975 г. Съществуването на няколко от тези групи беше предсказано преди изграждането им. По-късно се доказа, че това окончателно завършва пълното търсене. Повечето групи са кръстени на математиците, които първи са предсказали тяхното съществуване. Пълен списък на групите:

  • Групи на МатийоM11[en] ,M12[en] ,M22[en] ,M23[en] ,M24[en]
  • Janko групиJ1[en] ,J2 илиHJ,J3 илиHJM[en] ,J4[en]
  • Групи на ConwayCo1,Co2[en] ,Co3[en]
  • Групи на FisherFi22[en] ,Fi23[en] ,Fi24′ илиF3+[en]
  • Група Higman-Sims [en]HS
  • McLaughlin Group [en]McL
  • Задържана група [en]HeилиF7+, илиF7
  • Рудвалиска група [en]Ru
  • Suzuki group [en]SuzилиF3−
  • O'Nan Group [en]O'N
  • Група Харада-Нортън [en]HNилиF5+ илиF5
  • Lyons group [en]Ly
  • Група Томпсън [en]ThилиF33 илиF3
  • Small Monster Group [en]BилиF2+, илиF2
  • Fisher-Grace Monster GroupMилиF1

Групата ТитсTпонякога също се счита за спорадична група (тя е почти тип Лъжа) и поради тази причина някои източници дават броя на спорадичните групи като 27, а не 26. Според други източници групата Тиц не се счита нито за спорадична, нито за група от тип Лъжа.

За всички спорадични групи бяха конструирани матрични представяния върху крайни полета.

Най-ранната употреба на термина "спорадична група" се намира в Бърнсайд [2], където той казва за групите на Матийо: "Тези очевидно спорадични прости групи изискват по-внимателно проучване, отколкото е получавано досега."

Диаграмата вдясно е базирана на диаграмата на Ронан [3] . Спорадичните групи също имат голям брой подгрупи, които не са спорадични, но те не са представени в диаграмата поради огромния им брой.

От 26-те спорадични групи, 20 са в групата „Чудовище“ като подгрупи или подгрупи на фактор [en] .

II. Щастливото семейство

Останалите двадесет групи се наричат ​​Щастливото семейство(името е дадено от Robert Gries [en] ) и могат да бъдат разделени на три поколения.

Първо поколение (5 групи) - групи на Матийо

Групите Mnзаn= 11, 12, 22, 23 и 24 са многократно транзитивни пермутационни групи отnточки. Всички те са подгрупи на групата M24, която е пермутационна група от 24 точки.

Второ поколение (7 групи) - Lich grid

всичкосубфактори [en] на групата автоморфизми на решетка в 24-измерно пространство, наречена решетка на Лийч:

  • Co1 е фактор групата на групата на автоморфизма по отношение на центъра
  • Co2 - векторен стабилизатор тип 2 (т.е. дължина 2)
  • Co3 - векторен стабилизатор тип 3 (т.е. дължина √6)
  • Suzе група от автоморфизми, които запазват структурата (модул на центъра)
  • McL— делта стабилизатор тип 2-2-3
  • HS— триъгълен стабилизатор тип 2-3-3
  • J2 е група от автоморфизми, запазващи структурата на кватерниона (модул в центъра).

Трето поколение (8 групи) - други подгрупи на Чудовището

Състои се от подгрупи, които са тясно свързани с MonsterM:

  • BилиF2 има двойно покритие, което е централизатор на елемент от ред 2 вM
  • Fi24' има тройно покритие, което е централизатор на елемент от ред 3 вM(клас на конюгация "3A")
  • Fi23 е подгрупа наFi24′
  • Fi22 има двойно покритие, което е подгрупа наFi23
  • Произведението отTh=F3 и група от ред 3 е централизатор на елемент от ред 3 вM(клас на конюгация "3C")
  • Произведението отHN=F5 и група от ред 5 е централизатор на елемент от ред 5 вM
  • Произведението наHe=F7 и група от ред 7 е централизатор на елемент от ред 7 вM.
  • И накрая, самото Чудовище се счита за принадлежащо към това поколение.

(Тази серия продължава и продължава - произведението наM12 и група от ред 11 е централизатор на елемент от ред 11 вM.)