Средни стойности на мощността (str
| Поради големия обем този материал е разположен на няколко страници: 1 2 3 4 |
Както в случая с режима, при определяне на медианата, ако обхватът на интервалите h е различен, тогава вместо честотите f е необходимо да се използват плътностите на интервалите, изчислени чрез разделяне на честотите f на обхвата на интервала h.
Вариационни индикатори
Вариация е разликата в стойностите на X стойностите за отделни единици от статистическата съвкупност. За изследване на силата на вариация се изчисляват следните показатели за вариация: диапазон на вариация, средно линейно отклонение, линеен коефициент на вариация, дисперсия, стандартно отклонение, квадратичен коефициент на вариация.
Вариация на обхвата
Диапазонът на вариация е разликата между максималните и минималните стойности на X, налични в изследваната статистическа популация:
Недостатъкът на индикатора H е, че той показва само максималната разлика в стойностите на X и не може да измери силата на вариацията в цялата популация.
Средно линейно отклонение
Средно линейно отклонение е средният модул на отклоненията на стойностите X от средната аритметична стойност. Може да се изчисли с помощта на простата формула за средно аритметично - получаваме простото линейно отклонение:
Например студент е издържал 4 изпита и е получил следните оценки: 3, 4, 4 и 5. Преди това вече е изчислено средноаритметичното = 4. Нека изчислим простото линейно отклонение: L = (3-4+4-4+4-4+5-4)/4 = 0,5.
Ако първоначалните данни X са групирани (има честоти f), тогава изчисляването на средното линейно отклонение се извършва по формулата на средното аритметично претеглено - получаваме средното линейно отклонениепретеглено:
Нека се върнем към примера на студент, който е издържал 4 изпита и е получил следните оценки: 3, 4, 4 и 5. Преди това средното аритметично = 4 и простото линейно отклонение = 0,5 вече бяха изчислени. Изчислете среднопретегленото линейно отклонение: L = (3-4*1+4-4*2+5-4*1)/4 = 0,5.
Линеен коефициент на вариация
Линеен коефициент на вариация е отношението на средното линейно отклонение към средното аритметично:
Използвайки линейния коефициент на вариация, можете да сравните вариацията на различни популации, тъй като, за разлика от средното линейно отклонение, стойността му не зависи от единиците на X.
В този пример за студент, който е издържал 4 изпита и е получил следните оценки: 3, 4, 4 и 5, линейният коефициент на вариация ще бъде 0,5/4 = 0,125 или 12,5%.
Дисперсия е средният квадрат на отклоненията на стойностите X от средната аритметична стойност. Дисперсията може да се изчисли по простата средноаритметична формула - получаваме простата дисперсия:
В вече познатия пример за студент, който е издържал 4 изпита и е получил оценки: 3, 4, 4 и 5, средноаритметичното = 4 вече е изчислено по-рано. Тогава дисперсията е проста D = ((3-4)2+(4-4)2+(4-4)2+(5-4)2)/4 = 0,5.
Ако първоначалните данни X са групирани (има честоти f), тогава изчисляването на дисперсията се извършва по формулата за средноаритметично претеглено - получаваме претеглената дисперсия:
В този пример за студент, който е издържал 4 изпита и е получил следните оценки: 3, 4, 4 и 5, ние изчисляваме претеглената дисперсия: D = ((3-4)2*1+(4-4)2*2+(5-4)2*1)/4 = 0,5.
Ако преобразуваме формулата на дисперсията (отворете скобите в числителя, разделете термин по термин в знаменателя и дайте подобни),тогава можете да получите друга формула за изчисляването му като разликата между средната стойност на квадратите и квадрата на средната стойност:
В вече познатия пример за студент, който е издържал 4 изпита и е получил следните оценки: 3, 4, 4 и 5, изчисляваме дисперсията по метода на разликата между средните квадрати и квадрата на средната стойност:
Ако стойностите X са пропорции на популацията, тогавасе използва частична формула за дисперсията на пропорцията за изчисляване на дисперсията:
.
Стандартно отклонение
Формулата за среден квадрат вече беше обсъдена по-горе, която се използва за оценка на вариацията чрез изчисляване настандартното отклонение, обозначено с малката гръцка буква сигма:
Още по-лесно е да се намери стандартното отклонение, ако дисперсията е предварително изчислена като квадратен корен от него:
В примера за ученика, в който дисперсията е изчислена по-горе, намираме стандартното отклонение като корен квадратен от него: .
Квадратичен коефициент на вариация
Квадратният коефициент на вариация е най-популярната относителна мярка за вариация:
Критериалната стойност на квадратичния коефициент на вариация V е 0,333 или 33,3%, тоест, ако V е по-малко или равно на 0,333, вариацията се счита за слаба, а ако е повече от 0,333, се счита за силна. В случай на силна вариация, изследваната статистическа популация се счита за хетерогенна, а средната стойност се счита за нетипична и не може да се използва като обобщаващ показател за тази популация.
В примера за ученика, в който стандартното отклонение е изчислено по-горе, намираме квадратичния коефициент на вариация V = 0,707 / 4 = 0,177, което е по-малко от стойността на критерия от 0,333, което означава, че вариацията е слабаи е равен на 17,7%.
Понятието и видовете средни стойности
Средна стойност е обобщаващ индикатор за статистическа съвкупност, който неутрализира индивидуалните разлики в стойностите на статистическите стойности, което ви позволява да сравнявате различни популации една с друга.
Има2 класа средни стойности: експоненциални и структурни.
Структурните средни стойности включват режим и медиана, но най-често се използват средните мощности от различни видове.
Средни мощности
Средните мощности могат да бъдат прости или претеглени.
Проста средна стойност се изчислява, когато има две или повече негрупирани статистически стойности в произволен ред, като се използва следната обща формула:
Среднопретеглената стойност се изчислява от групираните статистически данни, като се използва следната обща формула:
където X са стойностите на индивидуалните статистически стойности или средните точки на интервалите на групиране; m е експонентата, от стойността на която зависят следнитетипове средни мощности : при m = -1 хармонично средно; при m = 0 средно геометрично; при m = 1 средно аритметично; при m = 2 средно квадратно; при m = 3 средно кубичен.
Използвайки общите формули за прости и претеглени средни при различни експоненти m, получаваме конкретни формули от всеки тип, които ще бъдат разгледани подробно по-долу.
Средноаритметично
Средно аритметичната е най-често използваната средна стойност, която се получава чрез заместване на m=1 в общата формула. Средната аритметичнапроста има следната форма:
където X са стойностите на количествата, за които е необходимоизчисляване на средната стойност; N е общият брой на X стойностите (броят единици в изследваната популация).
Например студент е издържал 4 изпита и е получил следните оценки: 3, 4, 4 и 5. Изчислете средния резултат, като използвате простата средноаритметична формула: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4.
Средноаритметичнатапретеглена има следната форма:
където f е броят на стойностите с еднаква X стойност (честота).
Например студент е издържал 4 изпита и е получил следните оценки: 3, 4, 4 и 5. Изчислете средния резултат, като използвате формулата за среднопретеглена аритметична стойност: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4.
Ако стойностите X са дадени като интервали, тогава средните точки на интервалите X се използват за изчисления, които се определят като половината от сумата на горната и долната граница на интервала. И ако интервалът X няма долна или горна граница (отворен интервал), тогава за намирането му се използва диапазонът (разликата между горната и долната граница) на съседния интервал X.
Например в предприятието има 10 служители с трудов стаж до 3 години, 20 - с трудов стаж от 3 до 5 години, 5 служители - с трудов стаж над 5 години. След това изчисляваме средната продължителност на трудовия стаж на служителите, използвайки формулата за средна аритметична претеглена стойност, като за X вземаме средните интервали на опит (2, 4 и 6 години): (2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3,71 години.