Стойността на производната на полином по метода на Хорнер
Доскоро бях сигурен, че ако полином от формата
и трябва да разберете стойността на производната, например от 5-ти ред в даден момент, първо трябва да изчислите тази производна (от пети ред), а след това, като заместите стойността, изчислете производната.
Оказва се, че има по-прост и алгоритмично по-лесен начин за намиране на производната в точка.
За да направим това, се нуждаем от техниката, описана в материалите: Разгъване на полином в степените и метода на Хорнер. Деление на многочлен.
Да, да, оказва се, че методът на Хорнер успешно решава проблема.
Изчислете производната от трети ред при x=3 на следния полином
1. Разделете дадения полином на
Получаваме остатъка 19.
Числото 19 е стойността на функцията, ако заместим x=3 там
2. Разделете отново на
Получаваме остатъка 25.
Тъй като това е първата производна, ние умножаваме резултата по 1!(един факториел)=1. Имам същия номер 25
Числото 25 е стойността на първата производна на дадената функция при x=3. Тоест, ако изчислим първата производна
и заместваме стойността 3 там, получаваме същия отговор = 25.
3. Разделете отново на
получаваме остатъка 13.
Нека умножим това число по 2! (два факториела) =2 и получаваме стойността на производната на функция от втори ред при x=3
4. Производната от трети ред се изчислява в този случай просто, тъй като вече не е възможно да се дели допълнително, тогава това е остатъкът. Трябва да се умножи по 3!(три факториела)=6
И получаваме, че производната от трети ред за даден полином при х=3 е 12.
По такъв прост начин можем да намерим стойностите на всяка производна на всеки полином.
Алгоритъмът е прост, но за полиноми със степени над 10 ниеизправени сме пред необходимостта да изчислим факториели над 10, което е много трудоемко, тъй като факториелът от 10 е3628800, а факториелът от 16 вече е20922789888000
Но едно от свойствата на техниката на Хорнер е в наша полза, което гласи:Ако умножим която и да е функция по число, тогава остатъкът от разделянето ще се увеличи със същата сума.
Следователно за нас е достатъчно да умножим получените коефициенти на полинома от деленето по числата 1,2,3,4,5 и т.н. в зависимост от това коя производна изчисляваме в момента и изчисляваме остатъка.
Калкулаторът работи и в областта на комплексните числа, така че нека решим този пример.
Необходимо е да се намерят всички възможни производни на тази функция заx=i
Лесно е да се уверите, че решавайки го ръчно, можете да направите грешка и да тръгнете по грешен път.
Много по-лесно е да използвате бота и да пишете през XMPP клиента
пропол 2 1-5i 0 -7 i 2 -9 -1;i