Страница #108

Страница номер 108.

Учебник:Алгебра и началото на математическия анализ. 10-11 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за ученици от образователни институции (основно ниво) / А. Г. Мордкович. - 10-то изд., изтрито. — М.: Мнемозина, 2009. — 399 с.: ил.

OCR версия на страницата от урока (текст на страницата по-горе):

Тук ще се запознаем с тригонометрични уравнения от специален вид, доста често срещани в практиката.

Определение. Уравнение под формата a sin x + b cos x \u003d 0 се нарича хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен; уравнение под формата a sin 2 x + b sin x cos x + с cos 2 x \u003d 0 се нарича хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен.

Първо, нека поговорим за решаването на хомогенни тригонометрични уравнения от първа степен и да разгледаме само най-общия случай, когато и двата коефициента a и b са различни от нула; в крайна сметка, ако например a = 0, уравнението приема формата b cos x = 0 и не заслужава отделно обсъждане. По същия начин за b = 0 получаваме: a sin x = 0, което също не изисква отделно обсъждане.

И така, като се има предвид уравнението a sin x + b cos x \u003d 0, където a F O, b F 0. Разделяйки двете части на уравнението член по член на cos x, получаваме:

a sin x b cos x 0

Моля, обърнете внимание, че разделянето на двете страни на уравнението с един и същи израз е възможно само ако сме сигурни, че този израз не е равен на нула (невъзможно е да се раздели на 0). Сигурни ли сме, че cos x е различно от нула в разглеждания случай? Да анализираме. Да предположим, че cos x \u003d 0. Тогава хомогенното уравнение a sin x + b cos x \u003d 0 приема формата a sin x \u003d 0, т.е. sin x \u003d 0 (не забравихте, че коефициентът aразличен от нула). Оказва се, че както cos x \u003d 0, така и sin x \u003d 0, и това е невъзможно, тъй като sin x и cos x изчезват в различни точки. И така, в едно хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен, разделянето на двете части на уравнението на cos x е напълно безопасна операция, която не води до загуба на решения.

Уравнения от вида a sin mpx + b cos mpx = 0 се наричат още хомогенни тригонометрични уравнения от първа степен. За да се решат, двете части на уравнението се разделят член по член чрез cos mnx.