Свойства на равнобедрен триъгълник
Триъгълник с две равни страни се нарича равнобедрен триъгълник. Тези страни се наричат страни, а третата страна се нарича основа. В тази статия ще ви разкажем за свойствата на равнобедрен триъгълник.
Ъглите в близост до основата на равнобедрен триъгълник са равни един на друг
Да предположим, че имаме равнобедрен триъгълник ABC, чиято основа е AB. Нека разгледаме триъгълника BAC. Тези триъгълници по първия знак са равни един на друг. Така е, защото BC = AC, AC = BC, ъгъл ACB = ъгъл ACB. От това следва, че ъгъл BAC = ъгъл ABC, тъй като това са съответните ъгли на нашите триъгълници, равни един на друг. Това е свойството на ъглите на равнобедрен триъгълник.
Медианата в равнобедрен триъгълник, начертана към основата му, е също височина и ъглополовяща
Да кажем, че имаме равнобедрен триъгълник ABC, чиято основа е AB, а CD е медианата, която сме начертали към основата му. В триъгълниците ACD и BCD ъгъл CAD = ъгъл CBD, като съответните ъгли при основата на равнобедрен триъгълник (теорема 1). И страна AC = страна BC (по дефиниция на равнобедрен триъгълник). Страна AD \u003d страна BD, В крайна сметка точка D разделя сегмента AB на равни части. Оттук следва, че триъгълник ACD = триъгълник BCD.
От равенството на тези триъгълници, имаме равенството на съответните ъгли. Тоест ъгъл ACD = ъгъл BCD и ъгъл ADC = ъгъл BDC. Уравнение 1 предполага, че CD е ъглополовяща. А ъгъл ADC и ъгъл BDC са съседни ъгли и от равенство 2 следва, че и двата са прави ъгли. Оказва се, че CD е височината на триъгълника. Това е свойството на медианата на равнобедрен триъгълник.
А сега малко за признаците на равнобедрен триъгълник.
Ако един триъгълник има два ъгъласа равни един на друг, то такъв триъгълник е равнобедрен
Да кажем, че имаме триъгълник ABC, в който ъгъл CAB = ъгъл CBA. Триъгълник ABC = триъгълник BAC по втория критерий за равенство между триъгълниците. Така е, защото AB = BA- ъгъл CBA = ъгъл CAB, ъгъл CAB = ъгъл CBA. От такова равенство на триъгълници, имаме равенството на съответните страни на триъгълника - AC = BC. Тогава се оказва, че триъгълник ABC е равнобедрен.
Ако във всеки триъгълник неговата медиана е и височината му, то такъв триъгълник е равнобедрен
В триъгълника ABC начертаваме медианата CD. Това също ще бъде височина. Правоъгълен триъгълник ACD = правоъгълен триъгълник BCD, тъй като катет CD е общ за тях, а катет AD = катет BD. От това следва, че техните хипотенузи са равни една на друга, както съответните части на еднакви триъгълници. Това означава, че AB = BC.
Ако три страни на триъгълник са равни на три страни на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви
Да предположим, че имаме триъгълник ABC и триъгълник A1B1C1, така че страните са AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Разгледайте доказателството на тази теорема от противното.
Да приемем, че тези триъгълници не са равни един на друг. Оттук имаме, че ъгълът BAC не е равен на ъгъла B1A1C1, ъгълът ABC не е равен на ъгъла A1B1C1, ъгълът ACB не е равен на ъгъла A1C1B1 в същото време. В противен случай тези триъгълници биха били равни според горния критерий.
Да приемем, че триъгълник A1B1C2 = триъгълник ABC. Върхът C2 на триъгълник лежи с върха C1 спрямо правата A1B1 в една и съща полуравнина. Приехме, че върховете C2 и C1 не съвпадат. Да приемем, че точка D е средата на отсечка C1C2. Така че имаме равнобедрени триъгълници B1C1C2 и A1C1C2, които имат обща основа C1C2. Оказва се, че темедианите на B1D и A1D също са техните височини. Това означава, че правата B1D и правата A1D са перпендикулярни на правата C1C2.
B1D и A1D имат различни точки B1 и A1 и следователно не могат да съвпадат. Но в края на краищата през точката D на правата C1C2 можем да начертаем само една права, перпендикулярна на нея. Имаме противоречие.
Сега знаете какви са свойствата на равнобедрен триъгълник!