Свързаност на множества
Как да докажа, че множеството $%(\times [-1, 1])\cup\)x>0\>\subset\mathbb^$% е свързано, но не е свързан път.
дадено9 февруари '12 18:54
dmg3 730 ● 1 ● 4 ● 38 71% приет
Непрекъснатото преобразуване от сегмент в пространство е точно това, което се нарича "непрекъсната крива".
И ето още една дефиниция на линейната свързаност на множество (или по-скоро преформулиране на вече посочената): „Множество E се нарича линейно свързано, ако две от неговите точки могат да бъдат свързани с път, чиято следа лежи в множеството E.“ Тоест, ние фиксираме произволни точки x' и x'' от E, ако има непрекъсната крива с краища в тези точки, която се съдържа изцяло в E, тогава E е пътечно свързано множество.
Във вашия случай има точка на прекъсване на графиката - следователно, ако вземем точката (0; 0) и всяка точка (x; y), принадлежаща на графиката на функцията, получаваме, че всяка крива на нашата графика, свързваща тези две точки, трябва да минава през точката на прекъсване на графиката (това е един от нейните краища). Тази точка (нула) трябва да принадлежи на кривата, за да бъде кривата непрекъсната, но тази точка не принадлежи на нашето множество, така че изискването "непрекъсната крива, която се съдържа изцяло в E" не може да бъде изпълнено за тези две точки. Това означава, че множеството E няма да бъде траекторно свързано.
отговори10 февруари '12 2:34
Точката (0, 0) принадлежи на нашето множество и какво лошо има във факта, че тя е точка на прекъсване на графиката, подмножество на нашето множество?
Линейно свързаното пространство е топологично пространство, в което всеки две точки могат да бъдат свързани с непрекъсната крива. Графиката $$y=sin(1/x)$$ се къса в точката x=0. Следователно тази точка (0,0) е свързана с непрекъсната линия с друга точка от тази графика.Свързаното пространство е топологично пространство, което не може да бъде разделено на две непразни непресичащи се отворени подмножества Теорема. Затварянето на свързано множество A е свързано. Графиката $%y=sin(1/x)$% е свързано множество (това е непрекъсната линия при x>0). Затварянето на тази графика е точно множеството $$(\times [-1, 1])\cup\)x>0\>$$ PTD
отговори9 февруари '12 22:15
Какво наричате непрекъсната крива?
Не говоря за това решение, а принципно за определението. Например, мисля, че свързано по пътя пространство е X, така че за всяко $%x_\, x_ \in X$% има непрекъснато преобразуване f от [0, 1] към X, f(0)=$%x_$%, f[1]=$%x_$%.
И защо, ако графиката има пропуск поради липса на лимит, тя не е линейно свързана?
Добре. Само една точка: за всяко A1=(x1,y1),A2=(x2,y2)∈X, съществува непрекъснато преобразуване f от [0, 1] в X, f(0)=A1, f[1]=A2. Приемаме A1(0,0),A2(1,sin(1)). Тогава проекциите върху осите дават x=x(t),y=y(t) - непрекъснати функции. Те удовлетворяват уравнението y(t)=sin(1/x(t)) Остават t->0, но не получават y(t)->0
Здравейте
Mathematics е съвместно редактиран форум за въпроси и отговори за начинаещи и опитни математици, със специален фокус върху компютърните науки.