Тема 1.13. Движението на материална точка. Кинетостатичен метод
Имайте представа за свободни и несвободни материални точки, за силите на инерцията, за използването на силата на инерцията за решаване на технически задачи.
Да познава формулите за изчисляване на силата на инерцията по време на транслационни и въртеливи движения, да познава принципа на д'Аламбер и да може да определя параметрите на движение, като използва законите на динамиката и метода на кинетостатиката.
Безплатни и небезплатни точки
Материална точка, чието движение в пространството не е ограничено от никакви ограничения, се нарича свободна. Проблемите се решават с помощта на основния закон на динамиката.
Материалните точки, чието движение е ограничено от връзки, се наричат несвободни.
За несвободните точки е необходимо да се определят реакциите на връзките. Тези точки се движат под действието на активни сили и реакциите на връзки (пасивни сили), които ограничават движението.
Несвободните материални точки се освобождават от връзки: връзките се заменят с техните реакции. Освен това, небезплатните точки могат да се считат за безплатни (принцип на освобождаване от облигации).
Импулсна сила
Инертност — способността да се поддържа непроменено състоянието, това е вътрешно свойство на всички материални тела.
Инерционна сила — силата, която възниква при ускоряване или забавяне на тялото (материална точка) и насочена в посока, обратна на ускорението. Силата на инерцията може да се измери, тя се прилага към "връзки" - тела, свързани с ускоряващо или забавящо тяло.
Изчислено е, че силата на инерцията е равна на
По този начин силите, действащи върху материалните точкиm1иm2(фиг. 14.1), когато платформата се ускорява съответно, са
Ускоряващото тяло (платформа с масаm(фиг. 14.1)) не възприема силата на инерцията, в противен случай ускорението на платформата изобщо би било невъзможно.
Привъртеливо движение (криволинейно), е обичайно полученото ускорение да се представя под формата на два компонента: нормалноapи тангенциалноat(фиг. 14.2).
Следователно, когато се разглежда криволинейно движение, могат да възникнат два компонента на инерционната сила: нормална и тангенциална
При равномерно движение по дъга винаги възниква нормално ускорение, тангенциалното ускорение е нула, следователно действа само нормалната компонента на инерционната сила, насочена по радиуса от центъра на дъгата (фиг. 14.3).
Кинетостатичен принцип (принцип на Д'Аламбер)
Принципът на кинетостатиката се използва за опростяване на решаването на редица технически проблеми. В действителност силите на инерцията се прилагат към телата, свързани с ускоряващото тяло (към връзките).
d'Alembert предложиусловно да се приложисилата на инерцията към активно ускоряващо се тяло. Тогава системата от сили, приложени към материалната точка, става балансирана и е възможно да се използват уравненията на статиката при решаване на задачи на динамиката.
Принцип на Д'Аламбер:
Материална точка под действието на активни сили, реакции на връзки и условно приложена инерционна сила е в равновесие:
Процедурата за решаване на проблеми с помощта на принципа на д'Аламбер
- Направете изчислителна схема.
- Изберете координатна система.
- Разберете посоката и големината на ускорението.
- Условно приложете силата на инерцията.
- Съставете система от уравнения за равновесие.
- Определете неизвестни количества.
Примери за решения на проблеми
Решение
Активни сили: движеща сила, сила на триене, гравитация. Реакция в подкрепаR. Прилагаме силата на инерцията в посока, обратна на ускорението. Съгласно принципа на д'Аламбер системата от сили, действащи върху платформата, се балансира и могат да се съставят уравнения на равновесие. Прилагаме координатната система и съставяме уравненията на проекциите на силите.
къдетоFrbе движещата сила; Ffr – сила на триене;G— гравитация;R —опорна реакция;Fmi— сила на инерцията;f— коефициент на триене.
Пример 2. Тяло с тегло 3500 N се движи нагоре по наклонена равнина съгласно уравнениетоS =0.16t 2(фиг.14.5). Определете големината на движещата сила, ако коефициентът на триене на тялото върху равнината еf= 0,15.
Решение
1. Да направим изчислителна схема, да изберем координатна система с остаОхпо наклонената равнина.
Активни сили: движеща сила, сила на триене, гравитация. Прилагаме реакцията в опората, перпендикулярна на равнината. За да се насочи правилно силата на инерцията, е необходимо да се знае посоката на ускорението, това може да се определи от уравнението на движението.
2. Определете ускорението на движението:
a = v' = S"; v = S' =0.32t;a = v' =0.32 m/s 2> 0.
Нека насочим силата Fin в посока, обратна на ускорението.
3. Съгласно принципа на д'Аламбер съставяме уравненията на равновесието:
4. Заместете всички известни количества в уравненията на равновесието:
Изразете неизвестната сила и решете уравнението:
Пример 3. Графиката на промяната на скоростта на асансьора по време на изкачване е известна (фиг. 14.6). Масата на асансьора с товар 2800 кг. Определете напрежението на въжето, на което е окачен асансьорът във всички секции на асансьора.
Решение
1.Нека разгледаме раздел 1 — повдигане с ускорение. Нека съставим диаграма на силите (фиг. 14.7). Уравнение на равновесието за кабината на асансьора:
къдетоT- напрежение на въжето;G— гравитация;FИH— инерционна сила, опъваща въжето.
За да определим ускорението в участък 1, вземаме предвид, че движението в този участък е еднакво променливо, скоросттаv = vo + at; v0 = 0. Следователно ускорението е:
Определете силата на опън на въжето при повдигане с ускорение
Т1 \u003d 2800 (9.81 + 1.25) \u003d 30968H; T1 = 30,97kN.
2.Нека разгледаме раздел 2 — равномерно издигане.
Ускорението и инерционната сила са равни на нула. Напрежението на въжето е равно на силата на гравитацията.
3.Сегмент 3 - Издигане с забавяне.
Ускорението е насочено в посока, обратна на посоката на изкачване. Нека съставим диаграма на силите (фиг. 14.8).
Уравнение на равновесието: FIN3 + T3 -G = 0.Следователно
Ускорението (забавянето) в този раздел се определя, като се вземе предвид факта, чеv = 0.
Напрежение на въжето при намаляване на скоростта до спиране:
T3 \u003d 2 800 ^ 9,81 - 0 \u003d 25 144 N; G3 - 25,14 kN.
По този начин напрежението на въжето се променя с всяко издигане и падане, въжето се проваля в резултат на умора на материала. Изпълнението зависи от времето.
Пример 4. Самолетът изпълнява "мъртъв лупинг" със скорост 160 m/s 2 , радиусът на лупинга е 1000 m, теглото на пилота е 75 kg. Определете степента на натиск на тялото върху стола в горната част на "мъртвия контур".
1. Схема на силите, действащи върху пилота (фиг. 14.9):
къдетоG е силата на гравитацията,R е реакцията в опората, FIN p е силата на инерцията.
Силата на натиск на пилота върху седалката е равна на силата на натиск на опората върху пилота.
Уравнение на равновесието (равномерно движение само по дъганормално ускорение): F "H - G - R \u003d 0;
Решение
Активната сила, действаща върху рамката, е силата на тежестта на товара
След като освободихме рамката от връзките, прилагаме към нея опорните реакцииVAиVВ(фиг. 1.61.6).
Психически спирайки рамката, ние прилагаме към нея в точката на закрепване на товара центробежната сила на инерцията
Тъй като рамката се върти равномерно, тангенциалното ускорение на товара е нула, а общото му ускорение е равно на нормалното. Съответно общата инерционна сила е равна на центробежната инерционна сила на товара.
Нормалното ускорение е насочено към оста на въртене, силата на инерцията е противоположна (фиг. 1.61.6).
Силата на инерцията и силата на гравитацията в дадено положение на товара се сумират:
В този случай силата на гравитацията е много по-малка от силата на инерцията и, най-общо казано, силата на гравитацията може да бъде пренебрегната.
Съставяне на уравненията на равновесието
Решение
Допълнителни динамични реакцииVA иVв опорите на гредата ще възникнат от силата на инерцията на товара
Силата на инерцията е насочена надолу, тъй като ускорението на товара е насочено нагоре.
Освобождаваме гредата от връзките изаместваме тяхното действие с реакцииVA иVc.
Съставяме уравненията на равновесието:
Решавайки уравненията, намираме:
Контролни въпроси и задачи
1. Обяснете разликата между понятията "инерция" и "инерционна сила".
2. Към какви тела е приложена инерционната сила, как е насочена и по каква формула може да се изчисли?
3. Какъв е принципът на кинетостатиката?
4. Дадено е уравнението на движение на материална точкаS= 8.6t2. Определете ускорението на точката в края на десетата секунда от движението.
5. Тялото се движи надолу по наклонена равнина (фиг. 14.10). Приложете силите, действащи върху тялото; използвайте принципа на д'Аламбер, запишете уравнението на равновесието.
6.
7. Автомобилът навлиза в дъговия мост с постоянна скоростv(фиг. 14.12). Приложете силите, действащи върху автомобила в средата на моста, като използвате принципа на кинетостатиката, запишете уравненията на равновесието.
8. Отговорете на въпросите от теста.