Тема 3 Семантика на YCLV
В класическата логика, когато се тълкуват формулите на въведения по-горе език, се приемат следните разпоредби.
Принцип на функционалност Смисълът на едно изказване се определя изцяло от значенията на включените в него изказвания.Принцип на непротиворечивост Едно твърдение не може да бъде едновременно вярно и невярно.
Принцип на пълнота Всяко твърдение задължително се оценява като вярно или невярно (не може да има твърдение, което да не получи една от тези оценки).
Оценки на променливи в техните последователности
За всяка променлива има два начина да се оцени: или й се присвоява обектът "true" (s) или "false" (f). Например за променливата p:
За две променливи има 4 начина да ги оцените заедно.
Оценката j1 означава предположението, че две твърдения - p и q - са верни, оценката j4 - че и двете твърдения са неверни. Оценката j3 определя ситуацията, когато първото от твърденията е вярно, а второто е невярно; оценката j3 е двойна. Очевидно, приемайки принципите на непротиворечивост и пълнота, няма друга оценка освен изброените.
В общия случайза n променливи, броят на техните възможни съвместни оценки = 2 n. И така, за три променливи има (2 3 =) 8 начина да ги оцените, т.е. 8 функции за оценка; за четири - (2 4 =) 16, за 5 - (2 5 =) 32 и т.н.
Нека представим всички възможни функции за оценка за три променливи.
Да кажем, че j5 дефинира ситуация, в която само първото от трите твърдения е невярно: j5(p) =l, j5(q) =u, j5(r) =u.
За да определите истинската стойност на всяка структура на изречение (или изречение), трябва да знаете:
(а) стойностите на всички променливи, включени в него (или стойностите на всички прости изречения, включени в него);
(б) как логическите връзки изчисляват стойностите на структура (изречение) от елементарни компоненти.
Условие (а) - задаване на всички възможни стойности за някои променливи - беше разгледано по-горе. Сега даваме дефиниции на логическите връзки.
Таблична дефиниция на логически връзки
Úе строга дизюнкция, AÚB се чете "или A, или B". Нестрога дизюнкция (Ú) - неизключителна, структурата на формата AÚB се разбира като "истинско A или B (или и двете)".
Моля, обърнете внимание: по-горе символите A и B бяха свързани с логически връзки, но сред оригиналнитенямасимволи A и B. Смяташе се, че зад всеки от тях имапроизволнаформула на изучавания език (YAKLV). Когато се въвеждат обозначения за произволни формули (A, B, C и т.н. или например φ, ψ, φ1[7] и т.н.), се говори засхеми от формули. Така изразът A&B се отнася до всяка формула, в която основният знак е връзка, например p&(q⊃Ør), q&Ør, (s ≡ (p&(q⊃Ør)))& (Øs1ÚØs2). Не можем да говорим за произволни формули на YCLV на този език: на този език нямаме способността да изразим информацията "всякаква", "произволна". На езика KLV не можем да кажем, че дадено твърдение (формула) е вярно или невярно и много повече „не може“. Твърденията за езика на KLV са формулирани на друг - по-богат - език.
Упражнение
11. Намерете стойността на истинността на следните твърдения
а) + Москва е столица на България, а Рим е столица на Гърция.
б) Москва е столица на България, или Рим е столица на Дания.
в) Ако 11 се дели на 3, то 11 се дели на 6.
г) Ако 15 се дели на 3, то 15 се дели на 6.
д) 11се дели на 3 тогава и само ако 15 се дели на 6.
е) Ако Майк Тайсън е черен, значи всички са черни.
ж) Ако Петър I е негър, тогава всички негри.
Нека сега обясним какъв недостатък беше обсъден по-горе, когато беше казано, ченякоиизречения от форматаАко A, то B,A само ако B,A необходимото / достатъчно условие за Bще бъдат верни от гледна точка на изградената логическа система, но те едва ли ще бъдат наречени истинни от гледна точка на здравия разум.
(*)Ако населението на Москва е повече от един милион, тогава в Африка живеят хипопотами.
Населението на Москва е повече от милион- вярно.
Хипопотамите живеят в Африка- вярно.
По дефиницията на импликацията, ако и A, и B са истинни, на изречението от структурата A É B се присвоява стойността „истина“, така че предложението (*) е вярно. Освен това A É B може да се чете като (1) B е необходимо условие за A, т.е. наличието на хипопотами в Африка е необходимо условие населението в Москва да е повече от милион и както (2) А е достатъчно условие за Б, т.е. фактът, че толкова много хора живеят в Москва, гарантира, че ще намерим хипопотами в Африка. Този пример (разбирате, че можете да посочите колкото си искате подобни) показва, че въведеният свързващ елемент не отговаря напълно на това, което имаме предвид, като казвамеако - то,необходимо условие,достатъчно условиеи т.н. Такива "разходи" се дължат на факта, че когато в пропозиционалната логика преминем от структурата на изречението към конкретни изречения, не се въвеждат ограничения върху заместените изречения и вместо A и B в A & B, A É B, A Ú B и т.н. По принцип можете да замените всякакви предложения. (Можете да въведете ограничение: нека A и B да са свързани по съдържание, но това е най-труднотозадачата е да се моделира смислена връзка между твърдения, оперирайки само с тяхната структурна информация.) Тогава класическата логика, когато определя значението на условна връзка, изхожда от изискването-минимум: блокира се само случаят, когато лъжата следва от истината. Ситуации, когато интуитивно изречение с условна връзка е невярно, но в нашата теория е вярно, няма да получим. И накрая, отбелязваме, че всяка теориямоделиобекта на изследване и не може да покаже всички свойства: работим с някои свойства, вземаме под внимание нещо (важно за решаването на определени проблеми), абстрахираме се от нещо.
12. Намерете стойността на формулата (Øр É q) & (Øq É Ør) при следните оценки:
Възможно ли е да се направи заключение за неговия логически статус въз основа на стойностите на тази конюнктивна формула при ϕ1 и ϕ2 (вижте по-долу за логическия статус на формулите)?
Дефиниции, обяснения и примери
Логически статус на формули
В логическата теория, класическата пропозиционална логика (съкратено KLV) всички формули - структури на изреченията - са разделени на три неприпокриващи се класа:
- логически закони (=идентично верни формули)
- логически противоречия (=идентично неверни формули)
- логически недетерминирани формули.
Формула A езаконът KLV илилогическият закон, т.е. той приема стойността "вярно" за всяка оценка на променливите, включени в неговия състав. (По-малко строго: логическите закони са такива структури (изречения), които могат да генерират само истински изречения; фалшиви изречения на такива структури не съществуват.)
Формула А елогическо противоречие, илиидентично невярно, т.е. придобива смисъл„false“, с всякаква оценка на променливите, включени в състава му. (По-малко строго: логическите противоречия са такива структури (изречения), които могат да генерират само неверни изречения; истински изречения на такива структури не съществуват.)
Формула А елогически недетерминирана, т.е. има оценка на променливите, включени в състава му, при които той е верен, и има оценка на променливите, при които той приема стойността "false". (По-малко строго: логически недетерминистичните формули са такива структури (изречения), които съответстват както на истински изречения на естествения език, така и на неверни.) [9]
Терминологично се разграничават и структури, които могат да породят поне едно вярно изречение. Такива структури се наричат изпълними. По-строго: формулатае осъществима, т.е. има оценка на променливите, включени в неговия състав, в която формулата приема стойността "вярно".
Упражнение
13. Какво ви подсказва вашата интуиция, какъв е логическият статус на следните формули - логически закон (ЛЗ), логическо противоречие (ЛП) или логически недетерминирана формула (ЛН)? Попълнете първата колона на таблицата.
Сега задайте логическия статус на формулите с помощта на таблици за истинност, попълнете втората колона на таблицата с резултатите и ги сравнете.
1. + Ø(pÚq) º (ØрÚØq)
3. + Ø(p & q) º (q & p)
4. + ((p Ú Øq) & r) É (q & Ør)
9. (p É q) º (q É p)
10. Ø(p & q) º (Øр & Øq)
12. ((p Ú (q Ú r)) º ((p Ú q) Ú r)
13. Ø(p É q) º (p & Øq)
14. ((p É q) & (p É r)) É ((Øq Ú Ør) É Øp)
15. ((pÚqÚr) º s) É ((pºs) & (qºs) & (rºs))
14. Използване на законите за асоциативност за & ИÚ Пропуснете максималния брой скоби във формулите.
(a)+ (((pÚ(q &r))Úq)Ú(((s&r)Úp)&q1)) É (((p&s) & (q&s)) & (rÚs))
(b) ((p Ú (q & r)) Ú (s&(r&s1))) É (((p &s) & (q &(rÚ s)) & (r Ú s))
15. За следните формули решете техния логически статус (дали всяка от тях е идентично вярна, идентично невярна или логически недетерминирана),без да изграждатетаблици на истинност.
(основният знак във формулата (c) е първата дизюнкция отляво)
Ако истинността или неистинността на твърденията зависи не само от разбирането на логическите връзки (от логиката), но и от фактите (от стойността на параметрите),изявление се отнася дологически недетерминирани. Да кажем, че изречението „Днес е студено и мразовито“ е логически недетерминирано, защото неговата структура - p&q - съответства както на верните изречения, така и на грешните. В твърдението „днес е вторник, а не вторник“, напротив, нищо не зависи от фактите (кой ден от седмицата е): твърдението е невярно, независимо от деня от седмицата, в който е произнесено, тъй като неговата структура - p&Øp - генерира само неверни изречения. Тогава казваме, чеизявлението е логически непоследователно. Ако структурата на твърдението е закон на логиката, то товаизявление е логически вярно. Ако нищо не зависи от фактите и структурата на изречението генерира твърдения само от един тип, само верни или само неверни, тогава казваме, чеизявлението е логически определено.
16. Какво ви казва вашата интуиция: стойностите (истина или невярно) на следващите изречения зависят от фактите (т.е. те са логически недетерминирани) или в следващите изречения нищо не зависи от фактите и техните(изречения) значенията се определят изцяло от тяхната структура, т.е. (a) вярно по структура (b) невярно по структура; (в) те са логически недетерминирани. Първо решете какво ви казва вашата интуиция, след това установете отговора, като анализирате тяхната структурна информация с помощта на таблици на истината (т.е. намерете структурата на изречението и я анализирайте, както в упражнение 13.)
а)+ Ако не е вярно, че не знаете английски, френски и немски, значи знаете тези езици.
б) Москва е столицата на България или Португалия.
в) Ако е вярно, че Москва е столица на Португалия, значи е вярно, че е столица на Португалия или България.
г) Или ако вали сняг, значи е горещо, или ако е горещо, значи вали сняг (или и двете) [10].
д) Не е вярно, че щом днес е четвъртък, значи днес е четвъртък.
е) Ако Р. Разколников или Д. Разумихин не са присъствали на лекцията, тогава е неправилно да се каже, че Р. Разколников или Д. Разумихин са присъствали на лекцията.
ж) Ще вали тогава и само ако взема чадър със себе си, въпреки че не е вярно, че ако взема чадър със себе си, ще вали.
з) Фактът, че тя учи латински или (2-ри вариант) както латински, така и старогръцки, е еквивалентен на изучаването й на латински.[11]